Development of a discretization method for PDE based on discrete exterior calculus
Développement d’une méthode de discrétisation des EDPs basée sur le calcul extérieur discret
Résumé
DEC (Discrete exterior calculus) is a geometric integrator based on exterior calculus, which has been successfully applied to different fields, namely to electromagnetism and isothermal fluid mechanics. Its combinatorial construction ensures that, as in the continuous case, the discrete exterior derivative operator d verifies the fundamental relation d²=0. As a consequence, vector analysis relations such as div curl = 0 and curl grad = 0 are naturally satisfied at machine precision during the simulation. A crucial operator in exterior calculus is the Hodge operator. One of the most popular choice of discrete Hodge operator in DEC is the diagonal Hodge. Its construction is based on a circumcentric dual mesh. In this thesis, the application of the DEC in fluid mechanics on anisothermal flows,in the context of a formulation with a stream function is first presented. Then, in the second part of the thesis, a new construction of the discrete Hodge operator is proposed. The new operator called the analytical Hodge operator is general and thus extends the choice of the dual mesh which can be based on any interior point (circumcenter, barycenter, incenter ...). Numerical tests revealing the good results of our construction are performed and convergence on different types of meshes (structured, unstructured, non-Delaunay) is presented.In the last part of the thesis, we introduce the equivalent expression of Neumann boundary conditions in the context of DEC in 2D meshes. The derivation of this expression can be performed on any type of mesh and independently of the choice of discretization of the Hodge operator. This allows us to solve Navier-Stokes equations in primary variables (velocity-pressure) using prediction-correction schemes in the context of DEC. In the last chapter, the previous developments are extended to the 3D case. In each contribution, different numerical tests evaluating robustness and convergence on different types of meshes are presented.
Le DEC (Discrete exterior calculus) est un intégrateur géométrique basé sur le calcul extérieur, qui a été appliqué avec succès dans différents domaines, en particulier en électromagnétisme et en mécanique des fluides isothermes. Sa construction combinatoire garantit que, comme dans le cas continu, l'opérateur dérivé extérieur discret d vérifie la relation fondamentale d²=0. Par conséquent, les relations d'analyse vectorielle telles que div curl = 0 et curl grad = 0 sont naturellement satisfaites à la précision machine. Un opérateur crucial en calcul extérieur est l’opérateur de Hodge. Un choix populaire de l’opéateur de Hodge discret est le Hodge diagonal. Sa construction est basée sur un maillage dual circoncentrique. Dans la première partie de cette thèse, l’application du DEC en mécanique des fluides sur des écoulements anisothermes, en utilisant la formulation fonction de courant est présentée. Ensuite, dans la deuxième partie, une nouvelle construction de l’opérateur de Hodge discret est proposée. Cet opérateur appelé opérateur de Hodge analytique est général, et donc élargit le choix du maillage dual qui peut être basé sur n’importe quel point intérieur (circoncentre, barycentre, incentre …). Des tests numériques révélant des bons résultats sont effectués et la convergence sur différents types de maillages (structurés, non structurés, non-Delaunay) est présentée. Dans la dernière partie de la thèse, nous introduisons l’expression équivalente des conditions aux limites de Neumann dans le contexte du DEC en 2D. La dérivation de cette expression peut s’effectuer sur tout type de maillage et indépendamment du choix de la discrétisation de l'opérateur de Hodge. Cela nous permet de résoudre les équations de Navier-Stokes en variables primaires vitesse-pression via des schémas de prédiction-correction adaptés au DEC. Dans un dernier chapitre, les développements précédents sont étendus au cas 3D. Dans chaque contribution, différents tests numériques évaluant la robustesse et la convergence sur différents types de maillage sont présentés.
Origine : Version validée par le jury (STAR)