Catégories faibles et structures supérieures afférentes en théorie des types
Auteur / Autrice : | Thibaut Benjamin |
Direction : | Samuel Mimram |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Informatique, données, IA |
Date : | Soutenance le 05/11/2020 |
Etablissement(s) : | Institut polytechnique de Paris |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale de l'Institut polytechnique de Paris |
Partenaire(s) de recherche : | établissement opérateur d'inscription : École polytechnique (Palaiseau, Essonne ; 1795-....) |
Laboratoire : Laboratoire d'informatique de l'École polytechnique (Palaiseau ; 1988-....) | |
Jury : | Président / Présidente : Nicolas Tabareau |
Examinateurs / Examinatrices : Samuel Mimram, Thierry Coquand, Eric Finster, Dimitri Ara, Emily Riehl, Jamie Vicary, Peter LeFanu Lumsdaine | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Thierry Coquand |
Résumé
Nous présentons une définition des omega-catégories faibles formulée en théorie des types proposée initialement par Finster et Mimram, suivant des idées provenant à la fois de la théorie homotopique des types et d’une définition des omega-catégories faibles due à Grothendieck et Maltsiniotis. Les avantages d’une telle approche sont multiples : Le langage de la théorie des types permet une définition qui se réduit à quelques règles seulement, et il fournit une syntaxe explicite sur laquelle il est possible de raisonner par induction. Cela donne également un algorithme pour implémenter un assistant de preuve dédié à l’exploration des omega-catégories faibles. Le travail que nous présentons est organisé selon deux axes principaux : Nous étudions les fondements théoriques de cette définition et la relions aux autres définitions connues de omega-catégories faibles, et nous présentons l’assistant de preuve basé sur cette théorie avec des considérations pour rendre cet outil plus utilisable en pratique. Nous considérons également des généralisations de cette approche à d’autres structures supérieures similaires.Nous commençons par présenter une introduction à la théorie des types dépendants sur laquelle repose les définitions que nous étudions, en introduisant à la fois une syntaxe et sa sémantique catégorique. Nous présentons ensuite les omega-catégories faibles avec une théorie des types pour les définir. Nous détaillons la sémantique catégorique de cette théorie et notre contribution principale dans cette direction établit une équivalence entre les modèles de cette théorie et la définition antérieure des omega-catégories faibles due à Grothendieck et Maltsiniotis. Cette définition nous a permis d’implémenter un assistant de preuves capable de vérifier si un morphisme donné est correctement défini dans la théorie des omega-catégories faibles; nous présentons cette implémentation accompagnée de quelques exemples illustrant à la fois les possibilités de l’outil, et l’impraticabilité de son utilisation dans sa version native. Pour corriger ce problème, nous présentons deux fonctionnalités additionnelles permettant une automatisation partielle : La suspension et la fonctorialisation. Ces deux opérations sont définies par des techniques similaires, par induction sur la syntaxe de la théorie des types. Nous généralisons ensuite cette définition des omega-catégories faibles et présentons un cadre pour étudier des théories des types, qui est à la fois suffisamment modulaire pour permettre de définir d’autres structures supérieures, et suffisamment contraint pour étudier précisément sa sémantique. Cela nous permet d’esquisser une connexion avec la théorie des monades à arités. En se reposant sur ce cadre, nous introduisons et étudions deux autres définitions de structures supérieures : les omega-catégories faibles monoidales et les omega-catégories faibles cubiques. Par un raisonnement syntaxique, nous définissons des traductions dans les deux sens entre les théories des types qui définissent les omega-catégories faibles et les omega-catégories faibles monoidales. L’un de nos résultats principaux est de montrer que ces traductions induisent une équivalence au niveau des modèles, montrant que les omega-catégories faibles monoidales sont équivalentes aux omega-catégories qui ont un unique objet justifiant l’appellation de monoidal. Nous donnons ensuite une présentation alternative de la théorie des types pour définir les omega-catégories faibles monoidales, qui diverge de notre cadre, mais qui est plus indépendante, et la prouvons équivalente à la présentation précédente. Finalement nous introduisons dans notre cadre une définition de la théorie des omega-catégories faibles cubiques, et étudions sa sémantique. Notre résultat principal dans cette direction est la caractérisation des modèles de cette théorie des types, en extrayant une définition mathématique qui leur est équivalente.