Champ moyen local et transport de l’énergie dans des systèmes hors équilibre

Local mean field and energy transport in non-equilibrium systems

• Auteur / Autrice : Alejandro Fernandez Montero
• Direction : Thierry Bodineau
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 23/09/2020
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : École polytechnique (Palaiseau, Essonne ; 1795-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de mathématiques appliquées de l'Ecole polytechnique (Palaiseau ; 1974-....)
• Jury : Président / Présidente : Nicolas Fournier
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Thierry Bodineau, Joaquín Fontbona, Cédric Bernardin, Sylvie Méléard, Mustapha Mourragui
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Joaquín Fontbona, Cédric Bernardin

Mots clés

Mots clés contrôlés

Kac-Moody, Algèbres de

Théorie du transport

Physique mathématique

Probabilités

Mots clés libres

Probabilités

Systèmes de particules en interaction

Champ moyen

Equation de Vlasov

Modèle de Kac

Probability

Interacting particle systems

Mean field

Vlasov equation

Kac model

Résumé

Les systèmes de chaînes d’oscillateurs permettent de modéliser microscopiquement un solide, dans le but d’étudier le transport d’énergie et de retrouver la loi de Fourier. Dans cette thèse, nous introduisons des nouveaux modèles de chaînes d’oscillateurs avec interaction mécanique de type champ moyen local et collisions stochastiques préservant l’énergie totale du système. Le premier modèle est un modèle avec échanges stochastiques de vitesses de type modèle de Kac. Le second est un modèle avec retournement de vitesses, où les vitesses sont changées en leurs opposées à des temps aléatoires.Contrairement à la théorie classique des modèles de champ moyen, les particules du système ne sont pas indistinguables, et le caractère conservatif des échanges stochastiques pour le premier modèle représente une difficulté supplémentaire dans la preuve d’une limite de Vlasov. Nous prouvons dans un premier temps une limite quantitative de champ moyen, que nous utilisons ensuite pour prouver que l’énergie évolue diffusivement à une échelle de temps donnée pour le modèle avec échanges à longue portée pour une classe restreinte de potentiels anharmoniques. À cette même échelle de temps, nous prouvons également que l’énergie n’évolue pas pour le modèle avec retournement de vitesses.Dans le cas d'interactions harmoniques, nous calculons ensuite la conductivité thermique via la formule de Green-Kubo pour ces deux modèles, afin de mettre en évidence que l’échelle de temps à laquelle l’énergie évolue pour le modèle avec retournements de vitesses est plus longue et donc que les mécanismes en jeu dans le transport d’énergie sont différents.

Chains of oscillator systems enable to model microscopically a solid, in order to study energy transport and prove Fourier’s law. In this thesis, we introduce two new models of chains of oscillators with local mean field mechanical interaction and stochastic collisions that preserve the system’s total energy. The first model is a model with stochastic velocity exchanges of Kac type. The second one is a model with random flips of velocities, where the sign of the particles’ velocities is changed at random times.As we consider local mean field models, particles are not indistinguishable, and the conservative stochastic exchanges in our first model are an additional difficulty for the proof of a Vlasov limit. We first derive a quantitative mean field limit, that we then use to prove that energy evolves diffusively at a given timescale for the model with long-range exchanges and for a restricted class of anharmonic potentials. At the same timescale, we also prove that there is no evolution of energy for the model with flips of velocities.For harmonic interactions, we then compute thermal conductivity via Green-Kubo formula for both models, to highlight that the timescale at which energy evolves for the model with velocity flips is longer and therefore that the mechanisms at play for energy transport are different.