Some aspects of the central role of financial market microstructure : Volatility dynamics, optimal trading and market design

par Paul Jusselin

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Mathieu Rosenbaum.

  • Titre traduit

    Quelques aspects du rôle central de la microstructure des marchés financiers : dynamique de la volatilité, trading optimal et organisation des marchés


  • Résumé

    Cette thèse est organisée en trois parties. Dans la première on examine les relations entre la dynamique microscopique et macroscopique du marché en se concentrant sur les propriétés de la volatilité. Dans la deuxième partie on s'intéresse au contrôle optimal stochastique de processus ponctuels. Finalement dans la troisième partie on étudie deux problématiques de market design.On commence cette thèse par l'étude des liens entre le principe d'absence d'opportunité d'arbitrage et l'irrégularité de la volatilité. A l'aide d'une méthode de changement d'échelle on montre que l'on peut effectivement connecter ces deux notions par l'analyse du market impact des métaordres. Plus précisément on modélise le flux des ordres marchés en utilisant des procesus de Hawkes linéaires. Puis on montre que le principe d'absence d'opportunité d'arbitrage ainsi que l'existence d'un market impact non trivial impliquent que la volatilité est rugueuse et plus précisément qu'elle suit un modèle rough Heston. On examine ensuite une classe de modèles microscopiques où le flux d'ordre est un processus de Hawkes quadratique. L'objectif est d'étendre le modèle rough Heston à des modèles continus permettant de reproduire l'effet Zumbach. Finalement on utilise un de ces modèles, le modèle rough Heston quadratique, pour la calibration jointe des nappes de volatilité du SPX et du VIX.Motivé par l'usage intensif de processus ponctuels dans la première partie, on s'intéresse dans la deuxième au contrôle stochastique de processus ponctuels. Notre objectif est de fournir des résultats théoriques en vue d'applications en finance. On commence par considérer le cas du contrôle de processus de Hawkes. On prouve l'existence d'une solution puis l'on propose une méthode permettant d'appliquer ce contrôle en pratique. On examine ensuite les limites d'échelles de problèmes de contrôles stochastiques dans le cadre de modèles de dynamique de population. Plus exactement on considère une suite de modèles de dynamique d'une population discrète qui converge vers un modèle pour une population continue. Pour chacun des modèles on considère un problème de contrôle. On prouve que la suite des contrôles optimaux associés aux modèles discrets converge vers le contrôle optimal associé au modèle continu. Ce résultat repose sur la continuité, par rapport à différents paramètres, de la solution d'une équation différentielle schostatique rétrograde.Dans la dernière partie on s'intéresse à deux problèmatiques de market design. On examine d'abord la question de l'organisation d'un marché liquide de produits dérivés. En se concentrant sur un marché d'options, on propose une méthode en deux étapes pouvant facilement être appliquée en pratique. La première étape consiste à choisir les options qui seront listées sur le marché. Pour cela on utilise un algorithme de quantification qui permet de sélectionner les options les plus demandées par les investisseurs. On propose ensuite une méthode d'incitation tarifaire visant à encourager les market makers à proposer des prix attractifs. On formalise ce problème comme un problème de type principal-agent que l'on résoud explicitement. Finalement, on cherche la durée optimale d'une enchère pour les marchés organisés en enchères séquentielles, le cas de la durée nulle correspondant à celui d'une double enchère continue. On utilise un modèle où les market takers sont en compétition et on considère que la durée optimale est celle correspondant au processus de découverte du prix le plus efficace. Après avoir prouvé l'existence d'un équilibre de Nash pour la compétition entre les market takers, on applique nos résultats sur des données de marchés. Pour la plupart des actifs, la durée optimale se trouve entre 2 et 10 minutes.


  • Résumé

    This thesis is made of three parts. In the first one, we study the connections between the dynamics of the market at the microscopic and macroscopic scales, with a focus on the properties of the volatility. In the second part we deal with optimal control for point processes. Finally in the third part we study two questions of market design.We begin this thesis with studying the links between the no-arbitrage principle and the (ir)regularity of volatility. Using a microscopic to macroscopic approach, we show that we can connect those two notions through the market impact of metaorders. We model the market order flow using linear Hawkes processes and show that the no-arbitrage principle together with the existence of a non-trivial market impact imply that the volatility process has to be rough, more precisely a rough Heston model. Then we study a class of microscopic models where order flows are driven by quadratic Hawkes processes. The objective is to extend the rough Heston model building continuous models that reproduce the feedback of price trends on volatility: the so-called Zumbach effect. We show that using appropriate scaling procedures the microscopic models converge towards price dynamics where volatility is rough and that reproduce the Zumbach effect. Finally we use one of those models, the quadratic rough Heston model, to solve the longstanding problem of joint calibration of SPX and VIX options smiles.Motivated by the extensive use of point processes in the first part of our work we focus in the second part on stochastic control for point processes. Our aim is to provide theoretical guarantees for applications in finance. We begin with considering a general stochastic control problem driven by Hawkes processes. We prove the existence of a solution and more importantly provide a method to implement the optimal control in practice. Then we study the scaling limits of solutions to stochastic control problems in the framework of population modeling. More precisely we consider a sequence of models for the dynamics of a discrete population converging to a model with continuous population. For each model we consider a stochastic control problem. We prove that the sequence of optimal controls associated to the discrete models converges towards the optimal control associated to the continuous model. This result relies on the continuity of the solution to a backward stochastic differential equation with respect to the driving martingale and terminal value.In the last part we address two questions of market design. We are first interested in designing a liquid electronic market of derivatives. We focus on options and propose a two steps method that can be easily applied in practice. The first step is to select the listed options. For this we use a quantization algorithm enabling us to pick the options capturing most of market demand. The second step is to design a make-take fees policy for market makers to incentivize them to set attractive quotes. We formalize this issue as a principal agent problem that we explicitly solve. Finally we look for the optimal auction duration that should be used on a market organized in sequential auctions, the case of auctions with 0 second duration corresponding to the continuous double auctions situation. To do so, we use an agent based model where market takers are competing. We consider that the optimal auction duration is the one leading to the best quality of price formation process. After proving existence of a Nash equilibrium for the competition between market takers we apply our results on stocks market data. We find that for most of the stocks, the optimal auction duration lies between 2 and 10 minutes.


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