Asymptotical estimates for some algorithms for data and image processing : a study of the Sinkhorn algorithm and a numerical analysis of total variation minimization

par Corentin Caillaud

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Antonin Chambolle.

Le président du jury était Julie Delon.

Le jury était composé de Antonin Chambolle, Gabriele Steidl, Nicolas Papadakis, Jalal Fadili, Stéphane Gaubert.

Les rapporteurs étaient Gabriele Steidl, Nicolas Papadakis.

  • Titre traduit

    Estimations asymptotiques pour des algorithmes de traitement d'images et de données : une étude de l'algorithme de Sinkhorn et une analyse numérique de la minimisation de la variation totale


  • Résumé

    Cette thèse traite de problèmes discrets d'optimisation convexe et s'intéresse à des estimations de leurs taux de convergence. Elle s'organise en deux parties indépendantes.Dans la première partie, nous étudions le taux de convergence de l'algorithme de Sinkhorn et de certaines de ses variantes. Cet algorithme apparaît dans le cadre du Transport Optimal (TO) par l'intermédiaire d'une régularisation entropique. Ses itérations, comme celles de ses variantes, s'écrivent sous la forme de produits composante par composante de matrices et de vecteurs positifs. Pour les étudier, nous proposons une nouvelle approche basée sur des inégalités de convexité simples et menant au taux de convergence linéaire observé en pratique. Nous étendons ce résultat à un certain type de variantes de l'algorithme que nous appelons algorithmes de Sinkhorn équilibrés de dimension 1. Nous présentons ensuite des techniques numériques traitant le cas de la convergence vers zéro du paramètre de régularisation des problèmes de TO. Enfin, nous menons l'analyse complète du taux de convergence en dimension 2.Dans la deuxième partie, nous donnons des estimations d'erreur pour deux discrétisations de la variation totale (TV) dans le modèle de Rudin, Osher et Fatemi (ROF). Ce problème de débruitage d'image, qui revient à calculer l'opérateur proximal de la variation totale, bénéficie de propriétés d'isotropie assurant la conservation de discontinuités nettes dans les images débruitées, et ce dans toutes les directions. En discrétisant le problème sur un maillage carré de taille h et en utilisant une variation totale discrète standard dite TV isotrope, cette propriété est perdue. Nous démontrons que dans une direction particulière l'erreur sur l'énergie est d'ordre h^{2/3}, ce qui est relativement élevé face aux attentes pour de meilleures discrétisations. Notre preuve repose sur l'analyse d'un problème équivalent en dimension 1 et de la TV perturbée qui y intervient. La deuxième variation totale discrète que nous considérons copie la définition de la variation totale continue en remplaçant les champs duaux habituels par des champs discrets dits de Raviart-Thomas. Nous retrouvons ainsi le caractère isotrope du modèle ROF discret. Pour conclure, nous prouvons, pour cette variation totale et sous certaines hypothèses, une estimation d'erreur en O(h).


  • Résumé

    This thesis deals with discrete optimization problems and investigates estimates of their convergence rates. It is divided into two independent parts.The first part addresses the convergence rate of the Sinkhorn algorithm and of some of its variants. This algorithm appears in the context of Optimal Transportation (OT) through entropic regularization. Its iterations, and the ones of the Sinkhorn-like variants, are written as componentwise products of nonnegative vectors and matrices. We propose a new approach to analyze them, based on simple convex inequalities and leading to the linear convergence rate that is observed in practice. We extend this result to a particular type of variants of the algorithm that we call 1D balanced Sinkhorn-like algorithms. In addition, we present some numerical techniques dealing with the convergence towards zero of the regularizing parameter of the OT problems. Lastly, we conduct the complete analysis of the convergence rate in dimension 2. In the second part, we establish error estimates for two discretizations of the total variation (TV) in the Rudin-Osher-Fatemi (ROF) model. This image denoising problem, that is solved by computing the proximal operator of the total variation, enjoys isotropy properties ensuring the preservation of sharp discontinuities in the denoised images in every direction. When the problem is discretized into a square mesh of size h and one uses a standard discrete total variation -- the so-called isotropic TV -- this property is lost. We show that in a particular direction the error in the energy is of order h^{2/3} which is relatively large with respect to what one can expect with better discretizations. Our proof relies on the analysis of an equivalent 1D denoising problem and of the perturbed TV it involves. The second discrete total variation we consider mimics the definition of the continuous total variation replacing the usual dual fields by discrete Raviart-Thomas fields. Doing so, we recover an isotropic behavior of the discrete ROF model. Finally, we prove a O(h) error estimate for this variant under standard hypotheses.


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