Calcul de Malliavin et structures de Dirichlet pour des variables aléatoires indépendantes
Auteur / Autrice : | Hélène Halconruy |
Direction : | Laurent Decreusefond |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques appliquées |
Date : | Soutenance le 14/09/2020 |
Etablissement(s) : | Institut polytechnique de Paris |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....) |
Partenaire(s) de recherche : | Etablissement opérateur d'inscription : Télécom Paris (Palaiseau ; 1977-....) |
Laboratoire : Laboratoire Traitement et communication de l'information (Paris ; 2003-....) | |
Jury : | Président / Présidente : Laure Coutin |
Examinateurs / Examinatrices : Laurent Decreusefond, Elisa Alòs, Raphaël Lachièze-Rey, Ivan Nourdin, Francesco Russo | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Elisa Alòs, Raphaël Lachièze-Rey |
Mots clés
Résumé
Cette thèse porte sur le calcul de Malliavin dont on munit deux cadres discrets. On équipe tout produit dénombrable d'espaces de probabilités d'une structure de Dirichlet-Malliavin au moyen d'opérateurs (gradient, divergence, opérateur nombre), d'une formule d'intégration par parties, et des formes de Dirichlet induites. On obtient les analogues discrets aux identités fonctionnelles classiques des processus Brownien et Poisson dont les structures de Dirichlet s'écrivent comme limites des structures induites par notre formalisme. Des critères de Stein-Malliavin discrets sont établis pour les approximations Normale et Gamma. Le second cadre est celui d'un modèle financier ternaire sous-tendu par un processus géométrique composé à trois points, et équivalent en loi au modèle trinomial. Toute fonctionnelle de ce processus géométrique composé de carré intégrable possède un développement en chaos "modifié" sur lequel agissent des opérateurs d'annihilation/gradient et de création/divergence vérifiant en outre une formule de commutation généralisée. S'ensuit de la formulede Clark "géométrique" qu'il est alors possible d'établir, une formule de hedging pour l'initié dont l'utilité additionnelle espérée s'exprime en termes d'entropie relative, comme dans le cas continu.