Régularisation, projections et distributions elliptiques pour le transport optimal

Leveraging regularization, projections and elliptical distributions in optimal transport

• Auteur / Autrice : Boris Muzellec
• Direction : Marco Cuturi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 26/10/2020
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de Recherche en Economie et Statistique (Palaiseau ; 1993-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : École nationale de la statistique et de l'administration économique (Palaiseau ; 1960-....)
• Jury : Président / Présidente : Quentin Mérigot
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Marco Cuturi, Quentin Mérigot, Daniel Kuhn, Justin Solomon, Julien Mairal
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Daniel Kuhn, Justin Solomon

Mots clés

Mots clés contrôlés

Apprentissage automatique

Transport optimal de mesure

Mots clés libres

Transport Optimal

Apprentissage Automatique

Distributions Elliptiques

Métrique de Bures

Optimal Transport.

Machine Mearning

Elliptical Distributions

Bures Metric

Résumé

Pouvoir manipuler et de comparer de mesures de probabilité est essentiel pour de nombreuses applications en apprentissage automatique. Le transport optimal (TO) définit des divergences entre distributions fondées sur la géométrie des espaces sous-jacents : partant d'une fonction de coût définie sur l'espace dans lequel elles sont supportées, le TO consiste à trouver un couplage entre les deux mesures qui soit optimal par rapport à ce coût. Par son ancrage géométrique, le TO est particulièrement bien adapté au machine learning, et fait l'objet d'une riche théorie mathématique. En dépit de ces avantages, l'emploi du TO pour les sciences des données a longtemps été limité par les difficultés mathématiques et computationnelles liées au problème d'optimisation sous-jacent. Pour contourner ce problème, une approche consiste à se concentrer sur des cas particuliers admettant des solutions en forme close, ou pouvant se résoudre efficacement. En particulier, le TO entre mesures elliptiques constitue l'un des rares cas pour lesquels le TO admet une forme close, définissant la géométrie de Bures-Wasserstein (BW). Cette thèse s'appuie tout particulièrement sur la géométrie de BW, dans le but de l'utiliser comme outil de base pour des applications en sciences des données. Pour ce faire, nous considérons des situations dans lesquelles la géométrie de BW est tantôt utilisée comme un outil pour l'apprentissage de représentations, étendue à partir de projections sur des sous-espaces, ou régularisée par un terme entropique. Dans une première contribution, la géométrie de BW est utilisée pour définir des plongements sous la forme de distributions elliptiques, étendant la représentation classique sous forme de vecteurs de R^d. Dans une deuxième contribution, nous prouvons l'existence de transports qui extrapolent des applications restreintes à des projections en faible dimension, et montrons que ces plans ''sous-espace optimaux'' admettent des formes closes dans le cas de mesures gaussiennes. La troisième contribution de cette thèse consiste à obtenir des formes closes pour le transport entropique entre des mesures gaussiennes non-normalisées, qui constituent les premières expressions non triviales pour le transport entropique. Finalement, dans une dernière contribution nous utilisons le transport entropique pour imputer des données manquantes de manière non-paramétrique, tout en préservant les distributions sous-jacentes.

Comparing and matching probability distributions is a crucial in numerous machine learning (ML) algorithms. Optimal transport (OT) defines divergences between distributions that are grounded on geometry: starting from a cost function on the underlying space, OT consists in finding a mapping or coupling between both measures that is optimal with respect to that cost. The fact that OT is deeply grounded in geometry makes it particularly well suited to ML. Further, OT is the object of a rich mathematical theory. Despite those advantages, the applications of OT in data sciences have long been hindered by the mathematical and computational complexities of the underlying optimization problem. To circumvent these issues, one approach consists in focusing on particular cases that admit closed-form solutions or that can be efficiently solved. In particular, OT between elliptical distributions is one of the very few instances for which OT is available in closed form, defining the so-called Bures-Wasserstein (BW) geometry. This thesis builds extensively on the BW geometry, with the aim to use it as basic tool in data science applications. To do so, we consider settings in which it is alternatively employed as a basic tool for representation learning, enhanced using subspace projections, and smoothed further using entropic regularization. In a first contribution, the BW geometry is used to define embeddings as elliptical probability distributions, extending on the classical representation of data as vectors in R^d.In the second contribution, we prove the existence of transportation maps and plans that extrapolate maps restricted to lower-dimensional projections, and show that subspace-optimal plans admit closed forms in the case of Gaussian measures.Our third contribution consists in deriving closed forms for entropic OT between Gaussian measures scaled with a varying total mass, which constitute the first non-trivial closed forms for entropic OT and provide the first continuous test case for the study of entropic OT. Finally, in a last contribution, entropic OT is leveraged to tackle missing data imputation in a non-parametric and distribution-preserving way.