Méthodes de décomposition de domaine sans recouvrement avec opérateurs de transmission non-locaux pour des problèmes de propagation d'ondes harmoniques

Non-overlapping domain decomposition methods with non-local transmission operators for harmonic wave propagation problems

• Auteur / Autrice : Émile Parolin
• Direction : Patrick Joly
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 04/12/2020
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Propagation des Ondes : Étude Mathématique et Simulation (Palaiseau)
• Jury : Président / Présidente : Annalisa Buffa
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Patrick Joly, Xavier Claeys, Nicole Spillane, Patrick Ciarlet
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Bruno Després, Martin Gander

Mots clés

Mots clés contrôlés

Harmoniques (ondes électriques)

Décomposition de domaines (mathématiques)

Mots clés libres

Décomposition de domaine

Ondes harmoniques

Points de jonction

Domain decomposition method

Harmonic waves

Junction points

Résumé

Les premiers travaux de B. Després, puis M. Gander, F. Magoulès et F. Nataf ont montré qu'il est nécessaire, du moins dans le contexte des équations d'ondes, d'utiliser des conditions de transmission de type impédante pour le couplage des sous-domaines afin d'obtenir la convergence des méthodes de décomposition de domaine sans-recouvrement. L'approche standard considérée dans la littérature utilise un opérateur d'impédance local permettant une convergence algébrique dans les meilleurs cas. Des travaux ultérieurs dus à F. Collino, S. Ghanemi et P. Joly puis F. Collino, P. Joly et M. Lecouvez ont permis de montrer que l'utilisation d'opérateurs d'impédance non-locaux, comme par exemple des opérateurs intégraux avec des noyaux singuliers adaptés, peut permettre une convergence géométrique des méthodes de décomposition de domaine.Cette thèse prolonge ces travaux (qui ont principalement concerné l'équation de Helmholtz scalaire) pour dans un premier temps étendre l'analyse au cas de la propagation d'ondes électromagnétiques. De plus, l'analyse numérique de la méthode est pour la première fois effectuée, démontrant la stabilité du taux de convergence par rapport au paramètre de discrétisation, et ainsi la robustesse de l'approche. Plusieurs opérateurs intégraux sont ensuite proposés comme opérateurs de transmission pour les équations de Maxwell dans le même esprit que ceux construits pour le cas de l'acoustique. Une alternative aux opérateurs intégraux, fondée sur la résolution de problèmes auxiliaires elliptiques, est par ailleurs proposée et étudiée. De nombreuses expériences numériques ont été menées, illustrant le haut potentiel de cette nouvelle approche. A partir de récents travaux de X. Claeys, la dernière partie de ce travail consiste à exploiter le formalisme multi-trace afin d'étendre l'analyse au cas des partitions comportant des points de jonction, problème ayant attiré beaucoup d'attention récemment. Cette nouvelle approche met en jeu un nouvel opérateur permettant la communication d'informations entre sous-domaines, qui a vocation à remplacer l'opérateur point-à-point classique. Une preuve de convergence géométrique de l'algorithme itératif associé, également uniforme par rapport au paramètre de discrétisation, est disponible et l'on montre que l'on retrouve l'algorithme classique en l'absence de point de jonction.

The pioneering work of B. Després then M. Gander, F. Magoulès and F. Nataf have shown that it is mandatory, at least in the context of wave equations, to use impedance type transmission conditions in the coupling of subdomains in order to obtain convergence of non-overlapping domain decomposition methods (DDM). In the standard approach considered in the literature, the impedance operator involved in the transmission conditions is local and leads to algebraic convergence of the DDM in the best cases. In later works, F. Collino, S. Ghanemi and P. Joly then F. Collino, P. Joly and M. Lecouvez have observed that using non local impedance operators such as integral operators with suitable singular kernels could lead to a geometric convergence of the DDM.This thesis extends these works (that mainly concerned the scalar Helmholtz equation) with the extension of the analysis to electromagnetic wave propagation. Besides, the numerical analysis of the method is performed for the first time, proving the stability of the convergence rate with respect to the discretization parameter, hence the robustness of the approach. Several integral operators are then proposed as transmission operators for Maxwell equations in the spirit of those constructed for the acoustic setting. An alternative to integral operators, based on the resolution of elliptic auxiliary problems, is also advocated and analyzed. Extensive numerical results are conducted, illustrating the high potential of the new approach. Based on a recent work by X. Claeys, the last part of this work consists in exploiting the multi-trace formalism to extend the convergence analysis to the case of partitions with junction points, which is a difficult problem that attracted a lot of attention recently. The new approach relies on a new operator that communicates information between sub-domains, which replaces the classical point-to-point exchange operator. A proof of geometrical convergence of the associated iterative algorithm, again uniform with respect to the discretization parameter, is available and we show that one recovers the standard algorithm in the absence of junction points.