Modélisation et simulation du comportement mécanique de floes de glace

Modelling an simulating the mechanical behavior of ice floes

• Auteur / Autrice : Dimitri Balasoiu
• Direction : Stéphane Labbé, Jérôme Weiss
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 13/10/2020
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 199.-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jean Kuntzmann (Grenoble)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Partial differential equation team (Grenoble)
• Partenaire(s) de recherche : Entreprise : Total (1924-1999)
• Jury : Président / Présidente : Dorin Bucur
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Vladislav Yastrebov
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Grégory Vial, Hervé Le Dret

Mots clés

Mots clés contrôlés

Glace de mer

Griffith, Fissure de

Isotropie

Mots clés libres

Modélisation

Homogénéisation

Fracture

Gamma-Convergence

Méthodes variationnelles

Banquise

Modelling

Homogenization

Fracture

Gamma-Convergence

Variational methods

Sea ice

Résumé

Cette thèse s'inscrit dans un projet global de recherche sur la modélisation de la banquise, mené conjointement par TOTAL S.A. et l'université Grenoble Alpes. Ce projet à ammené au développement d'un modèle granulaire pour simuler l'évolution de la banquise, ainsi que le comportement mécanique des floes de glace. Une implémentation informatique du modèle permet de simuler les collisions d'un million de blocs de glace, ainsi que leurs interactions avec des structures rigides. La présente thèse améliore ce modèle granulaire, en proposant un modèle efficace de fracture des blocs de glace. Dans une première partie, on propose un modèle de fracture d’un floe de glace lorsque celui-ci est soumis à un déplacement de son bord. Notre modèle est un modèle variationnel, dans la lignée du modèle de Francfort et Marigo, et consiste à minimiser l'énergie totale du matériau. On montre que, sous certaines hypothèses, cette fonctionnelle d'énergie possède bien un minimum. Le modèle proposé est efficace, et peut être intégré dans le modèle de collision, qui gère le comportement d'un grand nombre de blocs. Cette efficacité repose sur une hypothèse géométrique forte, bien qu'atténuée par l'utilisation d'un chargement quasi-statique : nous supposons que les seules fractures admissibles sont des segments de droites. Dans une seconde partie, on cherche à dériver les conditions au bord lors de la percussion à partir d'un modèle mécanique discret. Pour ce faire, on se propose de considérer un matériau élastique comme la limite d'un réseau isotrope de masses, reliées entre elles par des ressorts. Sur un réseau discret, on connaît l'équation différentielle qui régit le mouvement de chaque masse ; on peut espérer en dériver une expression du déplacement au bord. Une première étape est de montrer que l'état d'équilibre du réseau discret approche l'état d'équilibre d'un matériel élastique, lorsqu'on fixe un déplacement du bord. On présente plusieurs résultats de Gamma-convergence de fonctionnelles discrètes, définies sur différents réseaux de ressorts, vers la fonctionnelle d'énergie élastique classique. On utilisera en particulier un réseau isotrope, obtenu à partir d'un processus stochastique ponctuel sur lequel on construit une triangulation de Delaunay. Dans ce cas, on proposera un résultat de Gamma-convergence presque sûre.

This doctoral dissertation is part of a research project on sea ice modeling, initiated by TOTAL S.A. and the Université Grenoble Alpes.This project lead to the development of a granular model for the evolution of sea ice, and in particular the mechanical behavior of ice floes in the marginal ice zone.The implementation of the model can simulate the collisions of one million ice floes, and their interaction with rigid structures.This PhD thesis improves the current granular model by adding an efficient model for ice floe fracture.Firstly, we present a fracture model for an ice floe subject to a boundary displacement.This model is a brittle fracture model, relying on the work of citeauthor{GRIFFITH1921}.It is written in a variational framework inspired from that of citeauthor{FM98}'s model: we minimize the total energy of the material.We show that, under some hypothesis, the total energy of the ice floe has a minimum.This variational model is efficient, and can be used in the collision model which simulates the behavior of a large number of floes.This efficiency relies on a strong geometric hypothesis, although mitigated by the use of a quasistatic loading : we restrict the space of admissible fractures to the set of segment lines.Secondly, we present a research strategy to obtain an expression of the boundary displacement during the percussion of two ice floes.The strategy is the following : we consider the ice floe as the limit of an isotropic mass-spring lattice.For a given lattice, we can write the differential equation verified by each mass, and thus we hope to derive an expression of the boundary displacement.We identify three mathematical limits which we deem necessary to the understanding of the percussion phenomenon, and we obtain two of them.Doing so, we prove two Gamma-convergence results of discrete functionals, defined on different lattices, to the classical elastic energy.In particular, we work with a stochastic isotropic lattice, built as the Delaunay triangulation of a stochastic point process.In that case, we will prove the almost-sure Gamma-convergence.