Compter des configurations spatiales en dimension impaire avec la torsion de Reidemeister
Auteur / Autrice : | David Leturcq |
Direction : | Christine Lescop |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques et informatique |
Date : | Soutenance le 03/07/2020 |
Etablissement(s) : | Université Grenoble Alpes |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....) |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Institut Fourier (Grenoble) |
Jury : | Président / Présidente : Gwénaël Massuyeau |
Examinateurs / Examinatrices : Louis Funar, Jean-Baptiste Meilhan | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Alberto Cattaneo, Julien Marché |
Mots clés
Mots clés contrôlés
Résumé
Les nœuds longs étudiés dans cette thèse sont des plongements standard à l'infini de R^n dans un R^{n+2} asymptotique d'homologie entière, pour n impair. Pour ces nœuds, on définit des invariants (Z_k)_{k > 1} à difféomorphismes ambiants triviaux hors d'une boule près. Ces invariants généralisent des invariants (Z_k)_{k>1} définis par Bott, Cattaneo, et Rossi pour les nœuds longs de R^{n+2}, et on donne une définition plus souple de ces invariants. L'invariant Z_k est défini comme une combinaison linéaire d'intégrales de certaines formes différentielles sur des espaces de configurations associés à des graphes ayant 2k sommets, de deux types, et 2k arêtes, de deux types également. Ces formes sont définies en tirant en arrière et en faisant le produit extérieur de (n+1)-formes (appelées formes propagatrices externes) sur l'espace de configurations de deux points de l'espace ambiant et de (n-1)-formes (appelées formes propagatrices internes) sur l'espace de configurations de deux points de R^n. De manière équivalente, en utilisant des chaînes duales à ces formes, on donne une interprétation de Z_k en termes d'intersections algébriques de préimages de chaînes propagatrices. On obtient une formule pour Z_k en fonction de nombres d'enlacement de certains cycles d'une surface dont le bord est le nœud, pour les nœuds virtuellement rectifiables.La classe des nœuds virtuellement rectifiables contient au moins les nœuds rubans longs, et les nœuds longs avec n=1 mod 4. Notre formule exprime les invariants Z_k comme les coefficients du développement en série formelle du logarithme de la torsion de Reidemeister.