Vers une résolution efficace de problèmes d’optimisation de structures de grande taille avec variables mixtes catégorielles et continues

Towards efficient solutions for large scale structural optimization problems with categorical and continuous mixed design variables

• Auteur / Autrice : Pierre-Jean Barjhoux
• Direction : Joseph Morlier, Youssef Diouane
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et Applications et Génie mécanique, mécanique des matériaux
• Date : Soutenance le 31/01/2020
• Etablissement(s) : Toulouse, ISAE
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Aéronautique-Astronautique (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Clément Ader (Toulouse ; 2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Institut supérieur de l'aéronautique et de l'espace (Toulouse, Haute-Garonne). Département mécanique des structures et matériaux
• Jury : Président / Présidente : Sonia Cafieri
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Joseph Morlier, Youssef Diouane, Sonia Cafieri, Pierre Duysinx, Michael Kokkolaras, Marco Montemurro
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Pierre Duysinx, Michael Kokkolaras

Mots clés

Mots clés contrôlés

Industrie aéronautique

Optimisation des structures

Mots clés libres

Programmation mixte en nombres entiers

Variables de design catégorielles

Formulations multiniveaux

Problèmes de grande dimension

Optimisation de structure

Multimatériau

Mixed integer programming

Categorical design variables

Multilevel formulation

Large scale optimization

Structural optimization

Multimaterial

Résumé

Dans l’industrie aéronautique, les problèmes d’optimisation de structurepeuvent impliquer des changements de matériaux, de types de raidisseurs, et detailles d’éléments. Dans ce travail, il est ainsi proposé de résoudre des problèmes degrande taille (minimisation de masse) par rapport à des variables catégorielles et continues,sujets à des contraintes de stress et de déplacements. Trois algorithmes sontprésentés, discutés dans le manuscrit au regard de cas tests de plus en plus complexes.En tout premier lieu, un algorithme basé sur le ''branch and bound'' a été mis en place.Une formulation d’un problème dédié au calcul de minorants de la masse optimale estproposée. Bien que l’algorithme permette de trouver des solutions optimales, la tendancedu coût de calcul en fonction de l’augmentation du nombre d’éléments est exponentielle.Le second algorithme s’appuie sur une formulation bi-niveau du problème d’origine, oùle problème supérieur consiste à minimiser une approximation au premier ordre du résultatdu niveau inférieur. L’évolution du coût de calcul par rapport à l’augmentation dunombre d’éléments et de valeurs catégorielles est quasiment linéaire. Enfin, un troisièmealgorithme tire partie d’une reformulation du problème mixte catégoriel continu en unproblème bi-niveau mixte avec variables entières continûment relâchables. Les cas testsnumériques montrent la résolution d’un problème avec plus d’une centaine d’éléments.Également, le coût de calcul est quasi-indépendant du nombre de valeurs de variablescatégorielles disponibles par élément.

Nowadays in the aircraft industry, structural optimization problemscan be really complex and combine changes in choices of materials, stiffeners, orsizes/types of elements. In this work, it is proposed to solve large scale structural weightminimization problems with both categorical and continuous variables, subject to stressand displacements constraints. Three algorithms have been proposed. As a first attempt,an algorithm based on the branch and bound generic framework has been implemented.A specific formulation to compute lower bounds has been proposed. According to thenumerical tests, the algorithm returned the exact optima. However, the exponentialscalability of the computational cost with respect to the number of structural elementsprevents from an industrial application. The second algorithm relies on a bi-level formulationof the mixed categorical problem. The master full categorical problem consists ofminimizing a first order like approximation of the slave problem with respect to the categoricaldesign variables. The method offers a quasi-linear scaling of the computationalcost with respect to the number of elements and categorical values. Finally, in the thirdapproach the optimization problem is formulated as a bi-level mixed integer non-linearprogram with relaxable design variables. Numerical tests include an optimization casewith more than one hundred structural elements. Also, the computational cost scalingis quasi-independent from the number of available categorical values per element.