De nouveaux théorèmes limites sur les extrêmes et les systèmes dynamiques

New limit theorems on extremes and dynamical systems

• Auteur / Autrice : Ahmad Darwiche
• Direction : Dominique Schneider, Nicolas Chenavier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 08/12/2020
• Etablissement(s) : Littoral
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences pour l'ingénieur (Lille)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques pures et appliquées (Calais, Pas de Calais) - Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées Joseph Liouville
• Jury : Président / Présidente : Clément Dombry
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jorge Miguel Freitas, Benoît Saussol, Carole Rosier
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Jorge Miguel Freitas, Benoît Saussol

Mots clés

Mots clés contrôlés

Suites (mathématiques)

Théorie ergodique

Convergence (mathématiques)

Valeurs extrêmes, Théorie des

Mots clés libres

Valeurs extrêmes

Théorèmes limites

Suites stationnaires

Marches aléatoires

Processus ponctuels

Moyennes ergodiques pondérées

Contractions de l’espace de hilbert

Inégalités de moment

Extreme values

Limit theorems

Stationary sequences

Random walks

Point processes

Weighted ergodic averages

Contractions of hilbert space

Moment inequalities

Résumé

Dans cette thèse, nous établissons quelques théorèmes limites en théorie des valeurs extrêmes et en systèmes dynamiques. La thèse est composée de deux parties. Dans la première partie, nous nous intéressons au comportement du maximum d’une suite qui ne satisfait pas les hypothèses classiques de la théorie des valeurs extrêmes. La suite que nous considérons est générée par une marche aléatoire en milieu aléatoire. Nous établissons un résultat de convergence sur le processus ponctuel des excédents associé à la suite et calculons l’indice extrémal. Des propriétés de mélange de la suite sont également discutées.Dans la deuxième partie, nous étudions la convergence presque sûre de différents types de moyennes ergodiques avec poids (aléatoires et/ou déterministes), en développant une nouvelle technique pour donner des vitesses de convergence. Cette technique est basée sur des travaux de Móricz concernant l’étude de sommes de variables aléatoires. Elle nous permet d’établir des résultats sur la vitesse de convergence dans la loi forte des grandes nombres. Nous déduisons ensuite des propriétés de convergence ponctuelle de la transformée de Hilbert unilatérale pondérée.

In this PhD thesis, we establish some limit theorems in Extreme Value Theory and on dynamical systems. This thesis is divided into two parts. The first one deals with extremes of a sequence which does not satisfy the classical properties appearing in Extreme Value Theory. The sequence is generated by a random walk in random scenery. We establish a limit theorem on the point process of exceedances and we make explicit the extremal index. Some mixing properties are also discussed. The second part of this thesis deals with almost sure convergence of various ergodic averages with weights (the weights can be random or deterministic) and is based on new techniques to provide rates of convergence. Our techniques are based on a work due to Móricz dealing with sums of random variables. The same technique allows us to establish results on the rates of convergence for the strong law of large numbers. Then we state several properties for the point convergence of weighted unilateral Hilbert transform.