Sur la modélisation du transport réactif dans les réserves d’eaux potables

On the modeling of reactive transport in freshwater aquifers

• Auteur / Autrice : Safaa Al Nazer
• Direction : Carole Rosier, Mustapha Jazar
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 16/12/2020
• Etablissement(s) : Littoral en cotutelle avec École doctorale des Sciences et de Technologie (Beyrouth)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences pour l'ingénieur (Lille)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques pures et appliquées (Calais, Pas de Calais) - Laboratoire de mathématiques et applications (Tripoli, Liban) - Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées Joseph Liouville
• Jury : Président / Présidente : Mejdi Azaïez
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Marwan Fahs, Mladen Jurak, Jérôme Carrayrou, Ibrahim Hassan, Ghada Chmaycem
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Marwan Fahs, Mladen Jurak

Mots clés

Mots clés contrôlés

Écoulement (hydrologie)

Aquifères

Équilibre thermodynamique

Mots clés libres

Système algébrique non linéaire

Equilibre thermodynamique

Accélération d’Anderson

Extrapolation vectorielle polynômiale

Equations de Richards

Système couplé d’équations paraboliques quasi-linéaires

Existence globale en temps

Problème à frontières libres

Nonlinear Algebric System

Thermodynamic Equilibrium

Anderson Acceleration

Polynomial Vector Extrapolation

Richards Equations

Coupled System of quasilinear parabolic equations

Global in time existence

Free boundary problem

Résumé

Cette thèse est consacrée à l’étude du transport réactif dans les réserves en eaux. Elle est structurée en deux parties distinctes : la première porte sur l’élaboration de solveurs chimiques et la seconde sur l’étude mathématique d’une classe de modèles décrivant des écoulements en eaux peu profondes en interaction avec les eaux de surface.Dans la première partie du travail, on s’intéresse à la résolution numérique des équilibres thermodynamiques qui conduisent à des systèmes non linéaires complexes et très mal conditionnés. Dans ce travail, on combine une formulation particulière du système d’équilibre chimique, appelée la méthode des fractions continues positives, avec deux méthodes numériques itératives, la méthode d’Accélération d’Anderson et des méthodes d’extrapolation vectorielle, à savoir les méthodes MPE (minimal polynomial extrapolation) et RRE (reduced rank extrapolation). Le principal avantage de ces approches est d’éviter de former la matrice jacobienne et donc d’éviter les problèmes liés aux mauvais conditionnements de la matrice. Des tests numériques sont faits, notamment sur le cas test de l’acide gallique et sur le cas test 1D de référence du benchmark MoMas. Ces essais illustrent la grande efficacité de cette approche par rapport aux résolutions classiques résultant de la méthode de Newton-Raphson. Dans la seconde partie de la thèse, on introduit et étudie des modèles de type Richards-Dupuit pour décrire les écoulements dans des aquifères peu profonds. L’idée est de coupler les deux types d’écoulements principaux présents dans l’aquifère : celui de la partie insaturée avec celui de la partie saturée. Le premier est décrit par le problème classique de Richards dans la frange capillaire supérieure.Le second résulte de l’approximation de Dupuit après intégration verticale des lois de conservation entre le fond de l’aquifère et l’interface de saturation. Le modèle final consiste en un système fortement couplé d’edp de type parabolique qui sont définies sur un domaine dépendant du temps. Nous montrons comment la prise en compte de la faible compressibilité du fluide permet d’éliminer la dégénérescence présente dans la dérivée temporelle de l’équation de Richards. Puis nous utilisons le cadre général des équations paraboliques dans des domaines non cylindriques introduit par Lions pour donner un résultat d’existence global en temps. Nous présentons l’analyse mathématique du premier modèle qui correspond au cas isotrope et non conservatif. Puis nous généralisons l’étude au cas anisotrope et conservatif.

This thesis is devoted to the study of reactive transport in water reserves. It is structured in two distinct parts : the first deals with the development of chemical solvers and the second with the mathematical study of a class of models describing flows in shallow water interacting with the surface water. In the first part of the work, we focus on the numerical resolution of thermodynamic equilibria which lead to complex and very badly conditioned nonlinear systems. In this work, we combine aparticular formulation of the chemical equilibrium system, called the method of positive continuous fractions, with two iterative numerical methods, the Anderson Acceleration method and vector extrapolation methods, namely the MPE (minimal polynomial extrapolation) and RRE (reduced rank extrapolation) methods.The main advantage of these approaches is to avoid forming the Jacobian matrix and thus to avoid problems linked to bad conditioning of the matrix. Numerical tests are performed, especially on the test case of gallic acid and on the reference 1D case of the MoMas benchmark. These tests illustrate the great efficiency of this approach compared to classical solutions resulting from the Newton-Raphson method. In the second part of the thesis, we introduce and study Richards-Dupuit type models to describe flows in shallow aquifers. The idea is to couple the two main types of flows in the aquifer : that of the unsaturated part with that of the saturated part. The first is described by the classic Richardsproblem in the upper capillary fringe. The second results from Dupuit’s approximation after vertical integration of the conservation laws between the bottom of the aquifer and the saturation interface. The final model consists of a strongly coupled system of parabolic type pde which are defined on a time dependent domain. We show how taking into account the low compressibility of the fluid makes it possible to eliminate the degeneration in the time derivative term of the Richards equation.Then we use the general framework of parabolic equations in non-cylindrical domains introduced by Lions to give a global existence result in time. We present the mathematical analysis of the first model which corresponds to the isotropic and non-conservative case. Then we generalize the study to the anisotropic and conservative case.