Problème de moments avec applications et estimations du spectre discret des opérateurs définis par des matrices infinies non bornées

Moment problem with applications and discrete spectrum estimations of certain operators defined by unbounded Jacobi matrices

• Auteur / Autrice : Ayoub Harrat
• Direction : Lech Zielinski, El Hassan Zerouali
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 17/12/2020
• Etablissement(s) : Littoral en cotutelle avec Université Mohammed V (Rabat). Faculté des sciences
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences pour l'ingénieur (Lille)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques pures et appliquées (Calais, Pas de Calais) - Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées Joseph Liouville - Laboratoire Analyse Mathématique et Applications (LAMA)
• Jury : Président / Présidente : Carole Rosier
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Ryszard Szwarc, Sergei Naboko, Omar El Fallah
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Ryszard Szwarc, Sergei Naboko

Mots clés

Mots clés contrôlés

Riesz, Espaces de

Théorie spectrale (mathématiques)

Mots clés libres

Problème de moments

Quintique

Idempotents

Asymptotiques

Matrice de jacobi

Spectre discret

Moment problem

Quintic

Idempotents

Asymptotics

Jacobi matrix

Discrete spectrum

Résumé

Dans cette thèse on donne d'abord une solution concrète pour presque tous les scénarios qu'on peut avoir dans le problème de moments complexe quintique et en particulier dans le cas d'une mesure à support minimal. On présente aussi de nombreux exemples pour illustrer chaque cas. La seconde partie présente une approche qui permet de passer du problème de moments tronqué au problème complet à l'aide des idempotents. Il s'agit d'une approche très différente de celle utilisée dans la première partie.Plus précisément, au lieu d'appliquer les méthodes de R. Curto et L. Fialkow où l'objet central est la matrice de moments, on utilise l'approche de F. Vasilescu dont l'objet central est la fonctionnelle de Riesz. Cette fonctionnelle fait associer à chaque monôme tᵅ la valeur γ∝ et elle satisfait trois conditions naturelles dans le cas où la suite (γ∝)∝∈ℕᵈ est donnée par les intégrales de tᵅ par rapport à une mesure. La troisième partie est consacrée à l'asymptotique du spectre pour une classe de matrices hermitiennes tridiagonales infinies. Le but est d'obtenir le comportement asymptotique précis des valeurs propres y associées à partir du comportement asymptotique de ces coefficients. Le résultat est obtenu par une approche nouvelle qui est une adaptation de la théorie de perturbations de Schrieffer-Wolff utilisée en physique de la matière condensée. Cette méthode marche également pour des matrices 'bande', mais le cas des matrices tridiagonales est le plus important pour des applications et encore les expressions explicites des premières corrections dans la formule asymptotique sont plus simples pour les matrices tridiagonales.

In this thesis, we first provide a concrete solution to the, almost all, quintic TCMP (that is, when m = 5). We also study the cardinality of the minimal representing measure. Based on the bi-variate recurrence sequence properties with some Curto-Fialkow's results. Our method intended to be useful for all odd-degree moment problems. Second, we investigate the full moment problem for discrete measures using Vasilescu's idempotent approach based on Λ-multiplicative elements with respect to the associated square positive Riesz functional. We give a sufficient condition for the existence of a discrete integral representation for the associated Riesz functional, which turns to be necessary in bounded shift space case. A particular attention is given to Λ-multiplicative elements, where a total description, for the cases where they are a single point indicator functions, is given. Lastly, We investigate a class of infinite Jacobi matrices which define unbounded self-adjoint operators with discrete spectrum. Our purpose is to establish the asymptotic expansion of large eigenvalues and to compute two correction terms explicitly. This method works in general for band matrices but Jacobi matrices case still much interesting due to applications and explicit expressions obtained for the first correction terms in the asymptotic formula.