Analyse statistique et numérique des modèles à sauts et des diffusions en biologie

Statistical and numerical analysis of jump and diffusion models in biology

• Auteur / Autrice : Anna Melnykova
• Direction : Eva Löcherbach, Adeline Leclercq-Samson
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques - EM2PSI
• Date : Soutenance le 08/12/2020
• Etablissement(s) : CY Cergy Paris Université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Économie, Management, Mathématiques, Physique et Sciences Informatiques (Cergy-Pontoise, Val d'Oise)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Analyse, géométrie et modélisation (Cergy-Pontoise, Val d'Oise ; 1993-....)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Eva Löcherbach, Adeline Leclercq-Samson, Antoine Lejay, Arnaud Gloter, Evelyn Buckwar, Paul Doukhan, Magalie Fromont
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Antoine Lejay, Arnaud Gloter

Mots clés

Mots clés contrôlés

Neurosciences

Mots clés libres

Neuroscience

Diffusions hypoelliptiques

Inférence statistique

Schémas d'approximation

Neuroscience

Hypoelliptic diffusions

Statistical inference

Approximation schemes

Résumé

Beaucoup de phénomènes biologiques sont difficiles à observer et à expliquer. Par exemple, la génération et le traitement des informations dans notre cerveau, la réponse immunitaire de notre corps à différentes maladies, la réaction des cellules vivantes à différents stimuli, etc.Grâce aux progrès récents de la biologie, de la médecine et de l'informatique, ces processus peuvent être observés et enregistrés (au moins en partie) avec un haut niveau de précision. Par conséquence, il existe une demande croissante pour traduire les données recueillies par les biologistes et les neuroscientifiques en modèles mathématiques interprétables. Le but de cette thèse est de contribuer à l'étude des modèles mathématiques stochastiques des phénomènes du monde réel, et d'analyser ces modèles à la fois numériquement et théoriquement.Dans la première partie de cette thèse, nous étudions le lien entre les modèles stochastiques indivu-centrés (processus de naissance et de mort, processus de Hawkes) et leurs approximations continues respectives (diffusions stochastiques, l'équations aux dérivées partielles), obtenues à plus grande échelle. En particulier, nous abordons la question de la simulation numérique des processus stochastiques et déterministes à l'aide de schémas par fractionnement (splitting) et numériques implicites, qui préservent le comportement asymptotique du processus. Au niveau appliqué, nous considérons des modèles mathématiques d'interaction de réseaux de neurones biologiques, ainsi que des populations de bactéries.Dans la deuxième partie du manuscrit, nous traitons de statistique pour les équations différentielles stochastiques, telles que l'inférence paramétrique pour les diffusions avec bruit dégénéré, et le test d'hypothèses pour le rang de la matrice de covariance à partir d'observations discrètes. Pour l'estimation paramétrique, nous utilisons des estimateurs de quasi-maximum de vraisemblance (également appelés estimateurs de contraste), où le contraste est construit sur la densité approchée avec le schéma de linéarisation locale. Pour le deuxième problème, nous étudions un régime non asymptotique (c'est-à-dire le cas où les observations sont disponibles avec un pas de temps fixe). On considère le cas où la distribution des statistiques de test peut être écrite explicitement (par exemple, lorsque la dérive est connue et que la dimension est 1 ou 2). Ensuite, nous utilisons des inégalités de concentration pour évaluer les erreurs du 1ère et 2ème espèces du test.

There exist a lot of biological phenomena which are difficult to observe and explain. For example, the generation and processing of the information in our brains, the immune response of our bodies to different diseases, the reaction of living cells to different stimuli and so on.Thanks to the recent advances in biology, medicine and computer science those processes can be observed and recorded (at least partly) with a high level of precision. Consequently, there is an increasing demand in translating the data, gathered by biologists and neuroscientists, into interpretable mathematical models. The aim of this thesis is to contribute to the study of stochastic mathematical models of real-world phenomena, and analyze these models both numerically and theoretically.In the first part of this thesis we are studying the link between individual-based stochastic models (birth-and-death processes, Hawkes processes) and their respective continuous approximations (stochastic diffusions, partial differential equations), obtained at a larger scale. In particular, we are tackling the question of the numerical simulation of stochastic and deterministic processes with the help of splitting and implicit numerical schemes, which preserve the asymptotic behavior of the process. On the applied level, we consider mathematical models of interacting networks of biological neurons, as well as bacteria populations. In the second part of the manuscript we are dealing with statistics for stochastic differential equations, such as parametric inference for diffusions with degenerate noise, and hypothesis testing for the covariance matrix rank from discrete observations. For the parametric estimation we use quasi-maximum likelihood estimators (also known as contrast estimators), where the contrast is built on the density approximated with the local linearization scheme. For the second problem, we study a non-asymptotic regime (i.e., the case when the observations are available with a fixed time step). We consider the case when the distribution of the test statistics can be written explicitly (for example, when the drift is known and the dimension is 1 or 2). Then, we use concentration inequalities to derive the tail properties and use them to obtain a non-asymptotic control of the Type I and Type II errors.