Propriétés des mots et problèmes de risques compétitifs dans l'hypothèse de semi-Markov

Properties of words and competing risk processes under semi-Markov hypothesis

• Auteur / Autrice : Brenda Ivette Garcia Maya
• Direction : Nikolaos Limnios
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques Appliquées et Statistique : Laboratoire de Mathématiques Appliquées de Compiègne (Unité de recherche EA-2222)
• Date : Soutenance le 29/09/2020
• Etablissement(s) : Compiègne
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences pour l'ingénieur (Compiègne)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques Appliquées de Compiègne / LMAC

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fiabilité

Temps entre défaillances, Analyse des

Durée de vie (ingénierie)

Analyse de survie (biométrie)

Théorie ergodique

Weibull, Loi de

Loi des grands nombres

Algorithmes

Probabilités

Modèles de choix discret

Processus stochastiques

Markov, Processus de

Mots clés libres

Processus semi-markovien

Premier temps d'arrivée

Théorème de la limite central

Loi forte des grands nombres

Théorème ergodique

Fonction de renouvellement markovien

Méthode de discrétisation

Risques compétitifs

Analyse de survie

Semi-markovian process

First hitting time

Central limit theorem

Strong law of large numbers

Ergodic theorem

Continuous time markovian renewal function

Discretization method

Competing risk

Extended semi-Markov Ph-distributions

Survival analysis

Résumé

Notre thèse est dédiée, en grande partie, à certains problèmes de mathématique (séquences biologiques et analyse de la durée de vie avec risques compétitifs) sous l’hypothèse semi-markovienne. Au cours des années récentes, calculer les propriétés des mots dans les séquences stochastiques a été un sujet d’intérêt à l’intersection de mathématiques appliquées et de biologie. Dans la littérature, un grand nombre de méthodes ont abordé cette problématique sous l’hypothèse que la séquence des symboles soit modélisée par un processus de Markov. Cependant, l’hypothèse markovienne a quelques inconvénients. Dans un processus de Markov, le temps de séjour dans un état est modélisé par la loi exponentielle (géométrique) en temps continu (discret). Au contraire, dans un processus de semi-Markov le temps de séjour peut être modélisé par n’importe quelle loi de probabilité. Donc, pour calculer les propriétés des mots dans des séquences aléatoires d’une façon plus générale, dans cette thèse, on a considéré que la séquence biologique est modélisé par un processus semi-markovien. On a calculé la loi et le nombre moyen des fois que les éléments d’un ensemble spécifique apparaissent dans une séquence des lettres. Ensuite, nous avons obtenu la loi des grands nombres et nous avons aussi présenté le théorème de la limite central pour la fréquence d’apparition des mots. Pour montrer l’applicabilité de notre modèle, on a cherché une enzyme spécifique dans une séquence d’ADN provenant d’un bactériophage. Les problèmes de risques compétitifs forment un autre sujet d’intérêt en durée de vie. En général, les problèmes de risques compétitifs ont été abordés à partir d’un point de vu statistique. Dans cette thèse, on présente les problèmes de risques compétitifs dans le cadre de semi-Markov. On considère des processus de semi-Markov en temps continu et discret avec un nombre fini d’états transitoires et absorbants. Chaque état absorbant représente un mode de défaillance (dans la fiabilité d’un système) ou la cause de mort d’un individu (dans le cadre d’analyse de survie). On exprime la probabilité qu’une défaillance apparaisse au temps donné en raison d’une cause spécifique. On donne la loi jointe de la durée de vie et de la cause de défaillance en utilisant la fonction de transition d’un processus semi-markovien en temps continu et en temps discret, respectivement. Quelques exemples sont donnés pour illustration. Nous présentons également une méthode de résolution des équations de renouvellement markovien en temps continu, en se basant sur les algorithmes bien établis des équations correspondantes en temps discret. Le grand avantage tiré par cette approche est que la série infinie de la fonction de renouvellement, en temps continu, est remplacée, en temps discret, par une série finie. Des résultats pour l’estimation de l’erreur sont également établis. Pour illustrer cette approche nous proposons une application numérique concernant les cyber-attaques où les fonctions de transitions conditionnelles sont de lois de Weibull.

Our thesis is dedicated in big part, to solving certain problems in biology (biologic sequences and lifespan using the competing risk framework) under semi-Markovian hypothesis. In recent years, computing the properties of words through random sequences has become a topic of interest in the intersection between mathematics and biology. In the literature, a vast number of methods have tackled this problem under the assumption that sequences of symbols are modeled by Markov processes. Nevertheless, the markovian hypothesis has some disadvantages. In Markov processes, the sojourn time is modeled by the exponential (geometric) distribution in continuous (discrete) time. By contrast, in semi-Markov processes the sojourn time in a state can be modeledby any probability law. Therefore, in order to propose a more general approach to compute the properties of words through a random sequence, in this PhD work weconsider that biological sequences are modeled by semi-Markovian discrete processes. We also compute the average number of times that the elements from a specific set of words appear through a sequence of letters. To achieve our goal, we use the strong law of large numbers and we provide the central limit theorem. To prove the applicationof our proposed model, we find a particular enzyme in a bacteriophage DNA sequence. Competing risk problems conform another interesting topic in the lifespan domain. In general, competing risk problems have been dealt with a statistic approach. In this thesis, we present competing risk models within a semi-Markov framework. We consider continuous and discrete time semi-Markov processes with a finite number of transient and absorbing states. Each absorbing state represents a failure mode (in reliability of a system) or a cause of death of an individual (in survival analysis). We express the probability that a failure occurs at a given time due to a unique cause. We give the joint distribution of the life time and the failure cause via the transition function of the semi-Markov process in continuous and discrete-time respectively. Some examples are given for illustration. We also present a method for solving continuous time Markovian renewal equations based on well-established algorithms in their discrete time corresponding counter parts. The great advantage drawn by this approach is that the in finite series of the renewal function, in continuous time, is replaced, in discrete time, by a finite series. Results for error estimation are also established. To illustrate this approach we propose a digital application concerning cyber-attacks where the functions of conditional transitions are of the Weibull type.