Réduction de modèles et apprentissage de solutions spatio-temporelles paramétrées à partir de données : application à des couplages EDP-EDO

Data-based learning of parametrized spatio-temporal solutions and model order reduction

• Auteur / Autrice : Tarik Fahlaoui
• Direction : Florian de Vuyst
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques Appliquées et Problèmes Inverses : Laboratoire de Mathématiques Appliquées de Compiègne (Unité de recherche EA-2222)
• Date : Soutenance le 16/01/2020
• Etablissement(s) : Compiègne
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale 71, Sciences pour l'ingénieur (Compiègne)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques Appliquées de Compiègne / LMAC

Mots clés

Mots clés contrôlés

Algorithmes

Systèmes dynamiques

Apprentissage automatique

Réseaux neuronaux (informatique)

Analyse de régression

Ridge régression (statistique)

Interpolation (mathématiques)

Décomposition (mathématiques)

Décomposition orthogonale aux valeurs propres

Équations aux dérivées partielles

Mots clés libres

Équation aux dérivées partielles paramétrées

Data-driven

Analyse spectrale

Algorithme Kernel Ridge Regression (KRR)

Réduction de modèles

Model order reduction

Data-driven

Parametrized PDEs

Dynamic Mode Decomposition (DMD)

Proper Orthogonal Decomposition (POD)

Empirical Interpolation Method (EIM)

Artificial Neural Network (ANN)

Machine Learning

Partial differential equations

Dynamic systems

Algorithms

Spectral analysis

Résumé

On s’intéresse dans cette thèse à l’apprentissage d’un modèle réduit précis et stable, à partir de données correspondant à la solution d’une équation aux dérivées partielles (EDP), et générées par un solveur haute fidélité (HF). Pour ce faire, on utilise la méthode Dynamic Mode Decomposition (DMD) ainsi que la méthode de réduction Proper Orthogonal Decomposition (POD). Le modèle réduit appris est facilement interprétable, et par une analyse spectrale a posteriori de ce modèle on peut détecter les anomalies lors de la phase d’apprentissage. Les extensions au cas de couplage EDP-EDO, ainsi qu’au cas d’EDP d’ordre deux en temps sont présentées. L’apprentissage d’un modèle réduit dans le cas d’un système dynamique contrôlé par commutation, où la règle de contrôle est apprise à l’aide d’un réseau de neurones artificiel (ANN), est également traité. Un inconvénient de la réduction POD, est la difficile interprétation de la représentation basse dimension. On proposera alors l’utilisation de la méthode Empirical Interpolation Method (EIM). La représentation basse dimension est alors intelligible, et consiste en une restriction de la solution en des points sélectionnés. Cette approche sera ensuite étendue au cas d’EDP dépendant d’un paramètre, et où l’algorithme Kernel Ridge Regression (KRR) nous permettra d’apprendre la variété solution. Ainsi, on présentera l’apprentissage d’un modèle réduit paramétré. L’extension au cas de données bruitées ou bien au cas d’EDP d’évolution non linéaire est présentée en ouverture.

In this thesis, an algorithm for learning an accurate reduced order model from data generated by a high fidelity solver (HF solver) is proposed. To achieve this goal, we use both Dynamic Mode Decomposition (DMD) and Proper Orthogonal Decomposition (POD). Anomaly detection, during the learning process, can be easily done by performing an a posteriori spectral analysis on the reduced order model learnt. Several extensions are presented to make the method as general as possible. Thus, we handle the case of coupled ODE/PDE systems or the case of second order hyperbolic equations. The method is also extended to the case of switched control systems, where the switching rule is learnt by using an Artificial Neural Network (ANN). The reduced order model learnt allows to predict time evolution of the POD coefficients. However, the POD coefficients have no interpretable meaning. To tackle this issue, we propose an interpretable reduction method using the Empirical Interpolation Method (EIM). This reduction method is then adapted to the case of third-order tensors, and combining with the Kernel Ridge Regression (KRR) we can learn the solution manifold in the case of parametrized PDEs. In this way, we can learn a parametrized reduced order model. The case of non-linear PDEs or disturbed data is finally presented in the opening.