Optimisation L2-L0 contrainte et application à la microscopie à molécule unique

Constrained L2-L0 optimization and its application to Single-Molecule

• Auteur / Autrice : Arne Bechensteen
• Direction : Laure Blanc-Féraud, Sébastien Schaub
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Automatique, Traitement du Signal et des Images
• Date : Soutenance le 24/11/2020
• Etablissement(s) : Université Côte d'Azur
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies de l'information et de la communication (Sophia Antipolis, Alpes-Maritimes)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut national de recherche en informatique et en automatique (France). Unité de recherche (Sophia Antipolis, Alpes-Maritimes) - Laboratoire Informatique, signaux et systèmes (Sophia Antipolis, Alpes-Maritimes) - Morphologie et Images
• Jury : Président / Présidente : Olivier Meste
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Laure Blanc-Féraud, Sébastien Schaub, Olivier Meste, Jean-François Aujol, Jérôme Idier, Gilles Aubert, Caroline Chaux, Christine De Mol
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jean-François Aujol, Jérôme Idier

Mots clés

Mots clés contrôlés

Traitement d'images

Mots clés libres

Traitement d'images

Problème inverse

Parcimonie

Image processing

Sparse optimization

Inverse problem

Regularization

Super-resolution

Résumé

L'optimisation parcimonieuse est cruciale dans la société d'aujourd'hui, car elle est utilisée dans de nombreux domaines, tels que le débruitage, la compression, l’apprentissage et la sélection de caractéristiques. Cependant, obtenir une bonne solution parcimonieuse d'un signal est un défi de calcul.Cette thèse se concentre sur l'optimisation d’un terme des moindres carrés en norme L0 sous une contrainte de k-parcimonie sur la solution exprimée avec la pseudo-norme L0 (le problème L2-L0 contraint). Nous étudions également la somme de la fonction de perte des moindres carrés et d'un terme de pénalité L0 (le problème L2-L0 pénalisé). Les deux problèmes sont non convexes, non continus et NP-durs. Nous proposons trois nouvelles approches d'optimisation parcimonieuse. Nous présentons d'abord une relaxation continue du problème contraint et présentons une méthode pour minimiser la relaxation proposée. Deuxièmement, nous reformulons la pseudo-norme L0 comme un problème de minimisation convexe. Ceci est fait en introduisant une variable auxiliaire, et nous présentons une reformulation exacte du problème contraint (CoBic) et pénalisé (PeBic). Enfin, nous présentons une méthode pour minimiser le produit du terme de fidélité des données et du terme de régularisation. Ce dernier est un travail de recherche en cours. Nous appliquons les trois premières méthodes proposées (relaxation, CoBic et PeBic) à la microscopie par molécule unique. Les résultats des algorithmes proposés sont à l'état de l'art des méthodes basées sur la grille. De plus, fixer la constante de contrainte de parcimonie est généralement plus intuitif que fixer le paramètre de pénalité, ce qui rend l’approche contrainte attractive pour les applications.

Sparse optimization is crucial in today's society, as this is used in multiple domains, such as denoising, compression, machine learning, and variable selection. Sparse optimization is also vital in single-molecule localization microscopy, a microscopy method widely used in biology. However, obtaining a good sparse solution of a signal is computationally challenging. This thesis focuses on sparse optimization in the form of minimizing the least square loss function under a k-sparse constraint with an L0 pseudo-norm (the constrained L2-L0 problem). We also study the sum of the least square loss function and an L0 penalty term (the penalized L2-L0 problem). Both problems are non-convex, non-continuous, and NP-hard. We propose three new approaches to sparse optimization. We present first a continuous relaxation of the constrained problem and present a method to minimize the proposed relaxation. Secondly, we reformulate the L0 pseudo-norm as a convex minimization problem. This is done by introducing an auxiliary variable, and we present an exact biconvex reformulation of the constrained (CoBic) and penalized (PeBic) problems. Finally, we present a method to minimize the product of the data fidelity term and the regularization term. The latter is still an ongoing research work. We apply the three proposed methods (relaxation, CoBic, and PeBic) to single-molecule localization microscopy and compare them with other commonly used algorithms in sparse optimization. The proposed algorithms' results are as good as the state-of-the-art in grid-based methods. Furthermore, fixing the sparsity constraint constant is usually more intuitive than fixing the penalty parameter, making the constraint approach attractive for applications.