Classical and quantum particles interacting with their environment : stability analysis and asymptotic issues - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2020

Classical and quantum particles interacting with their environment : stability analysis and asymptotic issues

Particules classiques et quantiques en interaction avec leur environnement : analyse de stabilité et problèmes asymptotiques

Résumé

At the beginning of the 2000's, inspired by the prioneering works of A.O. Caldeira and A.J. Leggett, L. Bruneau and S. de Bièvre introduced an Hamiltonian model describing exchanges of energy between a classical particle and its environment in a way that these exchanges lead to a friction effect on the particle. On one hand this model has been extended to the case of several particles and, when the number of particle is large, a kinetic model has also been derived. Hereafter this model will be referred as the Vlasov-Wave system. On the other hand, since this model is Hamiltonian, it is possible to consider its quantum version. We call this new model the Schrödinger-Wave system. The aim of this thesis is to study the asymptotic of particular dynamics of the Vlasov and Schrödinger-Wave systems.In the kinetic case there exists stationary solutions such that the particle density in the phase space is spatially homogeneous. Then, by analogy with the Vlasov-Poisson system we considered the question of the existence of a Landau damping effect for small perturbations of these particular solutions. We obtain a new linear stability criterion which allows us then to obtain, by adapting the works of J. Bedrossian, N. Masmoudi, C. Mouhot and C. Villani, a proof of non linear Landau damping in the free space and torus cases. In particular we exhibit new constraints (due to the interactions with the environment) on damping rates. We also exhibit a link between stable equilibria of the Vlasov-Wave system and those for the Vlasov-Poisson system and we highlight the similarity between a parameter of the system and the Jeans' length in the attractive Vlasov-Poisson case. This study led to a numerical one which allows us to reinforce our comprehension on the role of the system's parameters, more precisely on their role on solutions' dynamic.In the Schrödinger-Wave case we investigated the possibility of highlighting a friction effect on the quantum particle coming from the environment. As a first step we justify the existence of solitary waves (these solutions where the dispersion of the Schrödinger equation is perfectly compensated by an attractive effect) and the orbital stability of ground states (a solitary wave minimizing the energy under a mass constraint). This orbital stability result insures that a small perturbation of a ground state stays, up to the equation's invariances (here translation and change of phase), close to it uniformly in time. Then a ground state might possibly move and we study the existence of a friction effect through this possible displacement. If in the Schrödinger-Newton case the Galilean invariance allows to construct a solution which is a ground states moving on a straight line at constant momentum, the Schrödinger-Wave system is not Galilean invariant and the analogy with the classical case suggested that the momentum of a moving ground state converges to zero. This conjecture has been studied and confirmed numerically. The numerical investigations require the development of a time discretization of the considered equations taking into account the expression of the interactions between particles and the environment in order to insure that the energy exchanges at numerical ground are consistent with those at continuous level.
Au début des années 2000, inspirés par les travaux fondateurs de A.O. Caldeira et A.J. Leggett, L. Bruneau et S. de Bièvre ont introduit un modèle hamiltonien décrivant les échanges d'énergie entre une particule classique et son environnement, ce modèle étant tel que l'environnement agit sur la particule comme une force de friction. D'un côté ce modèle a été étendu au cas de plusieurs particules et, lorsque le nombre de particules considérées est très grand, un modèle cinétique a également été dérivé. Dans la suite ce modèle sera appelé système Vlasov-Onde. De l'autre, comme ce modèle est hamiltonien il est possible de considérer une version quantique de celui-ci. Nous appellerons un tel modèle système Schrödinger-Onde. L'objet de cette thèse est l'étude asymptotique de certaines dynamiques des systèmes Vlasov et Schrödinger-Onde.Dans le cas cinétique il existe des solutions stationnaires telles que la densité de particule dans l'espace des phases soit spatialement homogène. Dans ce cas, par analogie avec le système Vlasov-Poisson, nous nous sommes posé la question de l'existence d'un effet d'amortissement Landau pour de petites perturbations de ces solutions particulières. Nous avons dans un premier temps obtenu un nouveau critère de stabilité linéaire qui nous a ensuite permis de démontrer, en adaptant les travaux de J. Bedrossian, N. Masmoudi, C. Mouhot et C. Villani, un effet d'amortissement Landau non linéaire dans le cas de l'espace entier et du tore. Nous avons en particulier obtenu de nouvelles contraintes (provenant de l'interaction avec l'environnement) sur le taux d'amortissement et nous avons fait le lien entre les équilibres stables du système Vlasov-Onde et ceux du système Vlasov-Poisson, notamment en justifiant qu'un des paramètres du système joue un rôle analogue à la longueur de Jeans dans le cas Vlasov-Poisson attractif. Cette étude théorique est complétée par une étude numérique qui nous a permis de conforter notre compréhension de l'impact des paramètres intervenant dans le système Vlasov-Onde sur la dynamique de ces solutions.Dans le cas du système Schrödinger-Onde nous nous sommes posé la question de la possibilité de mettre en évidence un effet de friction, provenant du milieu et agissant sur la particule quantique. Pour ce faire nous avons dans un premier temps justifié l'existence d'ondes solitaires (ces solutions particulières où la dispersion de l'équation de Schrödinger est parfaitement compensée par un effet attractif) ainsi que la stabilité orbitale des états fondamentaux (une onde solitaire minimisant l'énergie sous une contrainte de masse). Ce résultat de stabilité orbitale nous assure alors qu'une perturbation d'un état fondamental reste en tout temps proche de celui-ci modulo les invariances du système, ici translation et changement de phase. En particulier un état fondamental peut potentiellement se déplacer et nous avons étudié l'existence d'un effet de friction à travers ce possible déplacement. Si dans le cas Schrödinger-Newton l'invariance galiléenne assure l'existence d'états fondamentaux se déplaçant en ligne droite à vitesse constante, le système Schrödinger-Onde ne possède pas cette invariance et l'analogie avec le cas classique suggère que la vitesse de déplacement va nécessairement converger vers zéro. Cette conjecture a été étudiée et confirmée numériquement.Les deux études numériques esquissées précédemment ont nécessité le développement d'une discrétisation temporelle des équations prenant en compte la forme des interactions entre les particules et l'environnement afin de garantir que les échanges d'énergie au niveau discret sont consistants avec ceux au niveau continu.
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Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-03135254 , version 1 (08-02-2021)

Identifiants

  • HAL Id : tel-03135254 , version 1

Citer

Léo Vivion. Classical and quantum particles interacting with their environment : stability analysis and asymptotic issues. Number Theory [math.NT]. Université Côte d'Azur, 2020. English. ⟨NNT : 2020COAZ4039⟩. ⟨tel-03135254⟩
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