Continuité géométrique pour les surfaces et les champs scalaires

par Ahmed Blidia

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Bernard Mourrain.

Soutenue le 02-07-2020

à l'Université Côte d'Azur , dans le cadre de École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice) , en partenariat avec Université Côte d'Azur (2015-2019) (établissement de préparation) , AlgebRe, geOmetrie, Modelisation et AlgoriTHmes (laboratoire) et de Institut national de recherche en informatique et en automatique (France). Unité de recherche (Sophia Antipolis, Alpes-Maritimes) (laboratoire) .

Le président du jury était Boniface Nkonga.

Le jury était composé de Bernard Mourrain, Boniface Nkonga, Stéfanie Hahmann, Chandra Bajaj, Ioannis Z. Emiris, Abdelghani Zeghib, Nelly Villamizar.


  • Résumé

    Dans les systèmes de CAO, une fonction polynomiale par morceaux se trouve derrière toute représentation de courbe, de surface ou de champ scalaire. Ainsi, il est important d'analyser les propriétés des espaces des fonctions polynomiales par morceaux. Dans cette thèse, nous étudions des outils d'algèbre commutative qui peuvent être utilisés pour analyser la dimension d'espaces polynomiaux par morceaux et pour en construire des bases. Nous testons les méthodes que nous produisons pour modéliser des surfaces de forme libre et pour des calculs d'analyse numérique.La principale motivation du concept de continuité géométrique est la construction de surfaces multi-patchs et de champs scalaires. Le principal défi dans ce type de surfaces est de gérer les zones de la surface autour des sommets avec un certain nombre de patchs voisins différents de 4 (que nous appelons sommets extraordinaires). Dans ces régions, les méthodes de collage habituelles provoqueront l'apparition de singularités. La continuité géométrique est un moyen spécial de coller deux patchs de surface 3D le long de leur bord commun dans une surface multi-patchs, et qui produit des surfaces lisses même autour de sommets extraordinaires.La condition de collage de continuité géométrique est exprimée en termes de relations linéaires entre les paramétrisations des surfaces le long des bords de jonction. Les coefficients de ces relations sont appelés les données de collage, et le choix est crucial pour la régularité de la surface résultante. Les données de collage que nous proposons sont des fonctions splines qui respectent la contrainte de lissage telle que la contrainte d'enceinte de sommet. Nous expliquons notre choix en fournissant une formule que les données de collage doivent respecter à chaque sommet extraordinaire.Nous exigeons que la spline géométriquement continue (Nous appelons Gsplines les splines géométriquement continues) que nous produisons pour pouvoir interpoler n'importe quelle position donnée des sommets de son maillage correspondant. C'est ce que nous appelons la condition de séparabilité. Nous décrivons les conditions sur les données de collage qui permettent à l'espace d'être séparable, et donnons une liste d'exemples de telles données de collage. Le manuscrit décrit également un «schéma d'assemblage» qui permet de produire une base pour l'espace des Gsplines.Nous avons abordé la possibilité d'étendre les méthodes d'homologie existantes pour analyser la dimension de l'espace spline avec des conditions de continuité géométrique. Ces extensions fournissent de nombreuses formules qui expriment les dimensions de nos espaces splines au moyen d'autres groupes d'homologie.Notre analyse de cet espace conduit à trois applications : La première est un algorithme qui, étant donné un maillage, produit une surface lisse qui s'en rapproche. Cet algorithme est basé sur la projection de la surface approximative catmull-clark sur l'espace des splines que nous produisons. Les deux autres tests portent sur la reconstruction de surfaces lisses et l'analyse IsoGeoemtric.

  • Titre traduit

    Geometric continuity for surfaces and scalar fields


  • Résumé

    In CAD systems, a piecewise polynomial function is behind any curve, surface or scalar field representation. Thus, it is important to analyse the properties of the spaces of piecewise polynomial functions. In this thesis, we study commutative algebra tools that can be used to analyze the dimension of piecewise polynomial spaces, and to construct bases for them. We test the methods that we produce to model free form surfaces and for numerical analysis computations. The main motivation for the concept of geometric continuity is the construction of multi-patches surfaces and scalar fields. The main challenge in this kind of surfaces is to handle areas of the surface around vertices with a number of neighboring patches different from 4 (that we call Extraordinary vertices). In this regions, the usual gluing methods will cause the appearance of singularities. Geometric continuity is a special way to glue two 3d surface patches along their common edge in a multi-patch surface, and that produces smooth surfaces even around extraordinary vertices. The geometric continuity gluing condition is expressed in terms of linear relations between the parametrizations of the surfaces along there junction edges. The coefficients of those relations are called the gluing data, and their choice is crucial for the smoothness of the resulting surface. The gluing data that we propose are spline functions that respect smoothness constraint such as the vertex enclosure constraint. We explain our choice by providing a formula that the gluing data have to respect at each extraordinary vertex.We require that the Geometrically continuous spline (We call Gsplines the Geometrically continuous splines) spaces that we produce to be able to interpolate any given positions of the vertices of its corresponding mesh. This is what we call the separability condition. We describe conditions on the gluing data that allows the space to be separable, and give a list of examples of such a gluing data. The manuscript also describe a “piecing scheme” that allows to produce basis for the space of Gsplines.We have addressed the possibility of extending the existing homology methods to analyse the dimension of spline space with geometric continuity conditions. These extensions provide many formulas that expresses the dimensions of our spline spaces by means of other homology groups.Our analyse of this space leads to three applications: The first one is an algorithm that given a mesh, produces a smooth surface that approximates it. This algorithm is based on the projection of the Approximate catmull-clark surface on the space of splines that we produce. The two other tests are on smooth surfaces reconstruction and IsoGeometric analysis.


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