Sur le problème de dualisation dans les graphes, hypergraphes, et treillis

On the dualization problem in graphs, hypergraphs, and lattices

• Auteur / Autrice : Oscar Defrain
• Direction : Lhouari Nourine
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 02/09/2020
• Etablissement(s) : Université Clermont Auvergne‎ (2017-2020)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale des sciences pour l'ingénieur (Clermont-Ferrand)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'Informatique, de Modélisation et d'Optimisation des Systèmes
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Victor Chepoi, Arnaud Durand, Aurélie Lagoutte
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Nadia Creignou, Sergei O. Kuznetsov, Kazuhisa Makino

Mots clés

Mots clés contrôlés

Treillis, Théorie des

Hypergraphes

Théorie des graphes

Mots clés libres

Énumération algorithmique

Dualisation dans les treillis

Dominants minimaux

Transversaux minimaux

Stables maximaux

Meet-irréductibles

Bases d’implications

Algorithmic enumeration

Lattice dualization

Minimal dominating sets

Minimal transversals

Maximal independent sets

Meet-irreducibles

Implicational bases

Résumé

Cette thèse porte sur la théorie des graphes, des hypergraphes, et des treillis. Nous nous intéressons à la complexité du problème de dualisation des fonctions monotones Booléennes, ainsi qu’à ses généralisations, à travers les différentes formes qu’il prend dans ces structures: énumération des dominants minimaux, des transversaux minimaux, dualisation dans les treillis, et énumération des éléments meet-irréductibles. De nouveaux résultats positifs et négatifs sont obtenus, et des directions de recherche futures sont proposées. La thèse se découpe comme suit. Dans une première partie, nous nous intéressons à l’énumération des dominants minimaux dans les graphes. Nous obtenons de nouveaux algorithmes output-polynomiaux dans les graphes sans grande clique, et dans d’autres classes de graphes liées aux ordres partiels de dimension bornée. Dans une seconde partie, nous nous intéressons aux généralisations de ce problème dans les treillis. Une première généralisation concerne la dualisation dans les treillis donnés par une base d’implications, l’autre concerne l’énumération des éléments meet-irréductibles. Des résultats positifs et négatifs sont obtenus sous plusieurs contraintes concernant la largeur, l’acyclicité, et la taille des prémisses dans la base d’implication. Les deux parties de la thèse sont parsemées d’énumération des transversaux minimaux d’un hypergraphe, et de notions liées.

This thesis focuses on graphs, hypergraphs, and lattices. We study the complexity of the dualization of monotone Boolean functions, and its generalizations, through the many shapes it takes on these structures: minimal dominating sets enumeration, minimal transversals enumeration, lattice dualization, and meet-irreducible enumeration. Both tractable and intractable results are obtained, and future research directions are proposed. The thesis is organized as follows. A first part is devoted to the enumeration of minimal dominating sets in graphs. We obtain new output-polynomial time algorithms in graph classes related to Kt-free graphs and to posets of bounded dimension. A second part is devoted to generalizations of this problem in lattices. One generalization concerns the dualization in lattices given by implicational bases, the other deals with the enumeration of meet-irreducible elements. Both tractability and intractability results are obtained under various restrictions concerning width, acyclicity, and premises’ size in the implicational base. The two parts are sprinkled with hypergraph transversals enumeration and related notions.