Singularities of linear families of symmetric matrices
Singularités de familles linéaires de matrices symétriques
Résumé
In this thesis we study the regularities of eigenvalues and eigenvectors of linear families of real symmetric matrices A(t) ∈ Sym_d(R), t∈Ω⊂R^k. The eigenelements of A(t) are singular in general, and Kurdyka and Paunescu (2008) give a resolution by blowing-ups in the space Ω. Along a curve, Rellich (1937) shows that the eigenelements of A(t) have an analytic continuation. But the prolongation along a loop might be different from where one started: the first homotopy group of the set of regular parameters acts by permutation on the spectrum of A(t), an action we call monodromy of A(t). We rely this monodromy with another invariant, the antipodal monodromy, and fully characterize those permutations that appear as monodromies of two-parameter families. Showing that singular points of one parameter generic diagonal families have independent perturbations, we realize any given permutation as the antipodal monodromy of a two parameters family. Then, for two-parameter affine families, we describe the behavior of the eigenvalues near the points where A(t) has a double eigenvalue. We then study whether A(t) ∈ Sym_d(R) is analytically diagonalizable, or splits into blocks. We remark that neither the lack of antipodal monodromy is sufficient for an eigenvalue to be factored out of the characteristic polynomial P_A, nor a factor in P_A necessarily corresponds to a splitting block. However, we get positive results for extremal eigenvalues. It leads us to prove that A(t) has full analytic diagonalization if and only if it has trivial antipodal monodromy: the antipodal monodromy is the only obstruction to get analytic eigenelements. Finally, we focus on two-parameter families in Sym_3(R). Here both eigenvectors and eigenvalues form a cubic curve in P^2. We fully classify the couples of those cubics and show that there are only 9 types of such pairs. Inspired by this study, we consider the question whether eigenvectors form a resolution of singularities for the eigenvalues, and prove that it has a positive answer in the curve situation, and when the family is the full space Sym_d(R).
Dans cette thèse, on étudie les régularités des valeurs propres et vecteurs propres de familles linéaires de matrices symétriques réelles A(t)∈ Sym_d(R), t∈Ω⊂R^k. Les éléments propres de A(t) sont singuliers en général, et Kurdyka et Paunescu (2008) en donnent une résolution par éclatements dans l'espace Ω. Le long d'une courbe, Rellich (1937) montre que les éléments propres de A(t) ont un prolongement analytique. Mais le prolongement le long d'un lacet peut s'avérer différent du point de départ : le premier groupe d'homotopie de l'ensemble des paramètres réguliers agit par permutation sur le spectre de A(t), une action que l'on appelle monodromie de A(t). Nous relions cette monodromie avec un autre invariant, la monodromie antipodale, et caractérisons complètement les permutations apparaissant comme monodromies de familles à deux paramètres. En montrant que les points singuliers d'une famille diagonale générique à un paramètre admettent des perturbations indépendantes, nous réalisons toute permutation donnée comme la monodromie antipodale d'une famille à deux paramètres. Pour les familles affines à deux paramètres, nous décrivons le comportement des valeurs propres au voisinage des points où A(t) a une valeur propre double. On s'intéresse ensuite à l'existence d'une diagonalisation, ou d'une réduction par bloc, analytique, pour A(t)∈ Sym_d(R). On remarque que l'absence de monodromie antipodale n'est pas suffisante pour factoriser une valeur propre dans le polynôme caractéristique ᵡ_A, ni l'existence d'un facteur dans ᵡ_A n'assure l'existence d'une réduction par bloc. On obtient cependant des résultats positifs pour les valeurs propres extrémales. Ceux-ci permettent de montrer que A(t) admet une diagonalisation analytique complète si et seulement si sa monodromie antipodale est triviale: la monodromie antipodale est l'unique obstruction à l'existence d'éléments propres analytiques. Enfin, nous nous concentrons sur les familles à deux paramètres dans Sym_3(R). Ici, les vecteurs propres et valeurs propres forment chacun une cubique de P^2. Nous classifions entièrement les couples de telles cubiques et montrons qu'il n'y existe que 9 types de telles paires. Inspiré par cette étude, on s'intéresse à la question de savoir si les vecteurs propres fournissent une résolution des singularités des valeurs propres, et on donne une réponse positive dans le cas des courbes, et lorsque la famille est l'espace complet Sym_d(R).
Origine : Version validée par le jury (STAR)