Thèse soutenue

Analyse asymptotique des paramètres du théorème central limite fonctionnel pour une diffusion dans un flot incompressible rapide
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Auteur / Autrice : Adel Ouled Said
Direction : Brice FrankeMondher Damak
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
Date : Soutenance le 09/12/2020
Etablissement(s) : Brest en cotutelle avec Université de Sfax (Tunisie)
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et sciences et technologies de l'information et de la communication (Rennes)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques de Bretagne Atlantique - Laboratoire d'algèbre, géométrie et théorie spectrale (Sfax, Tunisie)
Jury : Président / Présidente : Françoise Pène
Examinateurs / Examinatrices : Brice Franke, Mondher Damak, Françoise Pène, Tony Lelièvre, Abderrazek Karoui, Maher Mnif
Rapporteurs / Rapporteuses : Tony Lelièvre, Abderrazek Karoui

Mots clés

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Résumé

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Dans ma thèse, je m'intéresse au comportement de la variance asymptotique et du coefficient d'Edgeworth lorsque c tend vers l'infini. Ma thèse présente trois types de résultats. Dans la première partie, je donne une expression générale de la limite de la variance asymptotique qui établit une liaison entre deux expressions obtenues d'une côté par Hwang, Normand et Wu (2015) et d'autre côté par Duncan, Lelievre et Pavliotis (2016). On obtient ces différentes expressions pour différents choix d'un paramètre p. Ce paramètre fixe l'ordre des différents espaces de Sobolev dans lesquelles on peut exprimer la limite. Dans la deuxième partie, nous montrons un résultat analogue à un résultat de Constantin, Kiselev, Ryzhik et Zlatos (2005) sur la norme opérateur du semi groupe pour la variance asymptotique. De notre côté, nous montrons que lorsque c tend vers l'infini la variance asymptotique converge uniformément vers zéro sur la boule unitaire si et seulement si le générateur de la dérive n’a pas de fonctions propres non nulles. Notre condition est plus faible que celle de Constantin, Kiselev, Ryzhik et Zlatos (2005). En effet, on peut trouver des exemples tel que la variance asymptotique converge vers zéro alors que la norme du semi groupe ne converge pas vers zéro. Dans la troisième partie, nous avons étudié le comportement asymptotique du coefficient d'Edgeworth lorsque c tend vers l'infini. Pour cela nous avons établi un développement d'Edgeworth pour des diffusions en temps continu. Un développement d'Edgeworth pour les chaines de Markov a été établi par Kontoyiannis et Meyn (2002). Nous avons étendu leur résultat au cas diffusif pour obtenir une expression du coefficient d'Edgeworth d'ordre trois. Finalement, nous avons étudié le comportement asymptotique de ce coefficient d'Edgeworth lorsque c tend vers l'infini. Dans les trois résultats, nous avons utilisé une méthode de Bhattacharya, Gupta et Walker (1989) que nous avons adaptée au trois différentes situations.