Calcul stochastique dans les variétés et application aux inégalités fonctionnelles

Stochastic calculus on manifold and application to functional inequalities

• Auteur / Autrice : Baptiste Huguet
• Direction : Marc Arnaudon, Michel Bonnefont
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées et calcul scientifique
• Date : Soutenance le 17/12/2020
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : Christian Léonard
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Marc Arnaudon, Michel Bonnefont, Ana Bela Ferreira Cruzeiro, Arnaud Guillin, Xu-Mei Li, Jürgen Angst, Adrien Richou
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Ana Bela Ferreira Cruzeiro, Arnaud Guillin

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie de Riemann

Processus stochastiques

Riemann, Variétés de

Mots clés libres

Variété riemannienne

Problème de Brenier-Schrödinger

Inégalité de Poincaré

Entrelacement

Diffusion

Semi-groupe

Riemannian manifold

Brenier-Schrödinger problem

Poincaré inequality

Intertwining

Diffusion

Semi-group

Résumé

Cette thèse explore les liens entre le calcul stochastique et l’analyse, dans un cadre géométrique riemannien. Nous nous attelons à étendre des résultats connus et des méthodes rodées, pour l’espace euclidien Rn, en de nouveaux résultats et méthodes pour les variétés riemanniennes. Les interactions considérés dans cette thèse seront de deux natures. D’une part, nous étudions l’interprétation stochastique des semi-groupes, de l’équation de la chaleur et ses applications aux inégalités fonctionnelles telles que Poincaré and FKG. Nous étudions les entrelacements entre diffusion et transport parallèle déformé, entre générateurs et entre semi-groupes. Le critère classique assurant ces relations est le critère de Bakry-Émery. Notre contribution principale est une généralisation de ce critère par la méthode de torsion (twisting). Nos donnons une condition générale pour obtenir des résultats d’entrelacement, d’inégalité fonctionnelle ou de trou spectral. Nous présentons comment utiliser ce résultat théorique sur des exemples explicites. Notre méthode illustre alors son efficacité en améliorant les résultats précédant sur les mesures de Cauchy généralisée. D’autre part, nous étudions le problème de Brenier-Schrödinger, vu comme la relaxation du problème de minimisation associé aux équations de Navier-Stokes. Notre étude se place dans le cadre des variétés compactes à bords et nous traitons deux principales questions : les solutions du problèmes de Brenier-Schrödinger sont-elles solutions (et en quel sens?) des équations de Navier-Stokes et le problème de Brenier-Schrödinger admet-il une (unique?) solution? Ce travail généralise des résultats précédents dans le cadre euclidien ou le cadre du tore Tn. Nos deux principales contributions sont l’étude du comportement des vitesses aux frontières du domaine et la méthode de quotient qui permet d’obtenir des espaces sur lequel le problème de Brenier-Schrödinger incompressible admet une unique solution.

This thesis explores the links between stochastic calculus and analysis, in a Riemannian geometric framework. We are working on extending known results and tried and tested methods for the Euclidean space Rn into new results and methods for Riemannian manifolds. We consider two kinds of interactions. On the one hand, we study the stochastic interpretation of semi-groups and its applications to functional inequalities such as Poincaré and FKG. We study intertwining relations between diffusion and deformed parallel transport, between generators and between semi-groups. The classical criterion ensuring these relations is the Bakry-Émery criterion. Our main contribution is a generalisation of this criterion by the twisting method. We give a general condition to obtain intertwining, functional inequality and spectral gap results. We present how to use this theoretical result on explicit examples. Our method illustrates its efficiency by improving previously known results on generalized Cauchy measures. On the other hand, we study the Brenier-Schrödinger problem, seen as a relaxation of the minimization problem associated with Navier-Stokes equations. Our study takes place within the framework of compact manifolds with boundaries and we address twomain questions. Are the solutions of the Brenier-Schrödinger problem solutions of the Navier-Stokes equations and in which sense? Does the Brenier-Schrödinger problem admit a (unique?) solution? This work generalises previously known results on the Euclidean and torus framework. Our two main contributions are the study of the behaviour of velocities at the boundaries of the domain and the quotient method which allows to obtain spaces on which the incompressible Brenier-Schrödinger problem admits a unique solution.