Ondes progressives et propriétés de propagation pour un problème d’épidémiologie évolutive non-local

Travelling wave solutions and propagation properties for a non-local evolutionary-epidemic system

• Auteur / Autrice : Lara Abi rizk
• Direction : Jean-Baptiste Burie, Arnaud Ducrot
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées et calcul scientifique
• Date : Soutenance le 15/12/2020
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : Martine Marion
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean-Baptiste Burie, Arnaud Ducrot, Matthieu Alfaro, Sepideh Mirrahimi, Pierre Magal
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Matthieu Alfaro, Sepideh Mirrahimi

Mots clés

Mots clés contrôlés

Modèles mathématiques

Épidémiologie

Ondes non linéaires

Équations de réaction-diffusion

Mots clés libres

Évolution

Vitesse de propagation

Épidémiologie

Comportement asymptotique

Dynamique des populations

Système de réaction-diffusion non local

Vitesse minimale

Ondes progressives

Evolution

Spreading speed

Epidemiology

Long time behaviour

Population dynamics

Non-local diffusive epidemic system

Minimal wave speed

Travelling wave solutions

Résumé

Dans cette thèse nous étudions l’existence d’une onde progressive pour un système d’équations intégro-différentiels provenant de l’épidémiologie évolutive. Nous utilisons des idées issues de la théorie des systèmes dynamiques couplées à des estimations sur le comportement asymptotique des profils. Nous prouvons que les ondes progressives ont une structure assez simple découplant les variables de propagation spatio-temporelle des variables de trait phénotypique. Cette analyse nous permet de réduire le système d’équations des profils d’ondes progressives à dimension infinie à un système d’EDO à quatre dimensions. Nous prouvons l’existence d’ondes progressives pour toute vitesse d’onde supérieure à une vitesse minimale c?, pourvu que le seuil épidémique R0, qui s’exprime en fonction de la valeur propre principale d’un certain opérateur intégral, soit strictement supérieur à 1. Cette même condition de seuil est également utilisée pour démontrer que toute onde progressive relie deux états stationnaires déterminés. Dans une deuxième partie, nous étudions les propriétés de propagation des solutions pour le même système d’équations spatialement distribué, avec une densité initiale de plantes infectées à support compact spatialement en x. Lorsque R0 > 1, nous prouvons que la propagation se produit avec une vitesse de propagation qui coïncide avec la vitesse minimale c? des ondes progressives étudiées dans la première partie. De plus, la solution du problème de Cauchy converge asymptotiquement vers une fonction spécifique pour laquelle la variable x du repère mobile et celle du phénotype y sont séparées.

In this thesis we study the existence of a travelling wave solutions for an integro-differential system of equations from evolutionary epidemiology. We use ideas from dynamical system ideas theory coupled with estimates of the asymptotic behaviour of profiles. We prove that the wave solutions have a rather simple structure. This analysis allows us to reduce the infinite dimensional travelling wave profile system of equations to a four dimensional ODE system. The latter is used to prove the existence of travelling wave solutions for any wave speed larger than a minimal wave speed c?, provided that the epidemic threshold R0, which is expressed as a function of the principal eigenvalue of a certain integral operator, is strictly greater than 1. This same threshold condition is also used to prove that any travelling wave connects two determined stationary states. In the second part, we study the propagation properties of the solutions for the same spatially distributed system of equations, when the initial density of infected plants is a compactly supported function with the space variable x. When R0 > 1, we prove that spreading occurs with a definite spreading speed that coincides with the minimal speed c? of the travelling wave solutions discussed in the first part. Moreover, the solution of the Cauchy problem asymptotically converges to some specific function for which the moving frame variable x and the phenotype one y are separated.