Sur la répartition des coefficients des formes modulaires de poids demi-entier

Distribution of coefficients of half-integral weight modular forms

• Auteur / Autrice : Corentin Darreye
• Direction : Guillaume Ricotta, Florent Jouve
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques Pures
• Date : Soutenance le 06/11/2020
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : Henri Cohen
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Guillaume Ricotta, Florent Jouve, Henri Cohen, Farrell Brumley, Régis Du Moulin de la Bretèche, Emmanuel Royer, Etienne Fouvry
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Farrell Brumley, Jie Wu

Mots clés

Mots clés contrôlés

Arithmétique modulaire

Fourier, Séries de

Formes modulaires

Mots clés libres

Forme modulaire

Poids demi-Entier

Coefficient de Fourier

Équirépartition

Progression arithmétique

Signe

Modular form

Half-Integral weight

Fourier coefficient

Equidistribution

Arithmetic progression

Sign

Résumé

Cette thèse traite de certains aspects analytiques liés aux coefficients de Fourier des formes modulaires de poids demi-entier. On étudie en particulier deux problèmes a priori bien différents mais que l’on reliera.Tout d’abord, on s’intéresse aux sommes des coefficients d’une forme cuspidale de poids demi-entier dans les progressions arithmétiques. Un tel problème fut étudié précédemment dans un article de Fouvry, Ganguly, Kowalski et Michel mais dans le cas d’une forme de poids entier. Les auteurs montrent notamment que, dans un certain régime de convergence, on a une équirépartition gaussienne des sommes des coefficients dans des progressions arithmétiques de module fixé.Dans ce travail, on prouve un résultat analogue lorsque la forme modulaire est de poids demi-entier. On verra que, dans un régime de convergence plus fin, les sommes des coefficients en progression arithmétique s’équirépartissent selon une loi qui est différente de la loi normale obtenue par Fouvry, Ganguly, Kowalski et Michel en poids entier.Dans un deuxième temps, on étudiera les signes des coefficients d’une forme de poids demi-entier f et des possibles minorations en valeur absolue de ces derniers. En utilisant certaines techniques issues du premier problème ainsi que des résultats classiques de la théorie des formes de poids demi-entier, comme la correspondance de Shimura, la formule de Waldspurger ou encore la récente théorie des formes nouvelles, on établie une borne inférieure sur le nombre de coefficients normalisés f(n) tels que n le x, où n est pris dans une progression arithmétique, et f(n) > n^{−alpha} avec alpha > 0.

This thesis deals with some analytic aspects of Fourier coefficients of half-integral weight modular forms. We study in particular two different problems which will be nonetheless connected.On one hand, we are interested in sums of coefficients of half-integral weight cusp forms in arithmetic progressions. Such a problem was studied in a previous paper of Fouvry, Ganguly, Kowalski and Michel for an integral weight cusp form. They showed that, in acertain range of convergence, there is a Gaussian equidistribution of sums of coefficientsin arithmetic progressions of fixed modulus.In this work, we prove an analogous result in the case of a half-integral weight cusp form. We will see that, in a more restricted range of convergence, the sums of coefficients in arithmetic progressions equidistribute with respect to a distribution which is different from the normal distribution obtained by Fouvry, Ganguly, Kowalski and Michel in the integral weight case.On the other hand, we study the signs of Fourier coefficients of a half-integral weight cusp form f and we provide lower bounds for these coefficients. Using techniques from the previous problem and classical results from the theory of half-integral weight modular forms, such as Shimura’s correspondence, Waldspurger’s formula and the recent theory of newforms, we establish a lower bound for the number of normalized coefficients f(n) such that n le x, where n is taken in an arithmetic progression and f(n) > n^{−alpha} for positive alpha.