Modèles de Néron en dimension supérieure : courbes nodales et leurs Jacobiennes, changement de base modérément ramifié.

Néron models in high dimension : nodal curves, Jacobians and tame base change.

• Auteur / Autrice : Thibault Poiret
• Direction : Qing Liu, Bas Edixhoven
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques Pures
• Date : Soutenance le 20/10/2020
• Etablissement(s) : Bordeaux en cotutelle avec Universiteit Leiden (Leyde, Pays-Bas)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : Ronald Van Lujk
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Qing Liu, Matthieu Romagny, Jilong Tong, David Holmes, Irene I. Bouw
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Matthieu Romagny, Jilong Tong

Mots clés

Mots clés contrôlés

Jacobiens

Courbes algébriques

Variétés abéliennes

Néron, Modèles de

Mots clés libres

Jacobiennes

Modèles de Néron

Dimension supérieure

Courbes nodales

Nodal curves

Néron models

Jacobians

High dimension

Résumé

Dans de nombreux domaines des mathématiques, il arrive de rencontrer des familles d'objets (groupes, graphes, variétés, schémas, champs algébriques...) paramétrisées par une ou plusieurs variables, qui admettent une définition simple et se comportent bien seulement en dehors de certaines valeurs exceptionnelles de ces variables. Par exemple, étant donné une courbe elliptique sur Q, on peut en trouver une équation à coefficients entiers, dont la réduction modulo p sera une courbe elliptique pour tout nombre premier p à l'exception d'un nombre fini d'entre eux. On a alors une "famille continue" de courbes elliptiques paramétrée par l'ensemble des nombres premiers, privé d'un sous-ensemble fini. Il est naturel de souhaiter construire des modèles de ces familles incomplètes, i.e. de les étendre en familles définies sur toutes les valeurs possibles des paramètres. Les familles incomplètes de schémas (ou même champs algébriques) ont parfois un "meilleur modèle lisse", le modèle de Néron. Cette thèse traite de questions d'existence et de construction explicite de modèles de Néron. Elle comporte trois parties.Dans la première partie, nous nous intéressons à des familles de courbes nodales génériquement lisses paramétrisées par un schéma régulier. Nous introduisons certains éclatements birationnels de telles familles, les raffinements. Nous montrons que, localement sur la base dans la topologie étale, les raffinements existent toujours. Nous définissons certains invariants mesurant la complexité des singularités d'une courbe nodale relative, et nous montrons que les raffinements permettent, partant d'une courbe lisse avec un modèle nodal, d'en trouver les modèles nodaux avec les singularités les plus simples.Dans la deuxième partie, nous nous intéressons à l'existence de modèles de Néron pour des familles de Jacobiennes, puis pour des familles de courbes, sur une base régulière sans restriction de dimension. D'abord, nous introduisons une condition appelée alignement strict sur la structure locale d'une courbe nodale génériquement lisse X/S autour de ses singularités. Nous montrons que la Jacobienne générique de X/S a un modèle de Néron si et seulement si X/S est strictement alignée. Ensuite, nous prouvons que si une courbe lisse a un modèle de Néron, alors le lieu singulier de tout modèle nodal de cette courbe est localement irréductible pour la topologie étale. Nous utilisons les morphismes de contraction des champs M(g,n) pour en déduire une condition nécessaire plus forte (équivalente à la clôture de cette irréductibilité locale du lieu singulier sous les morphismes de contraction et les changements de base lisses), et nous montrons que cette nouvelle condition est également suffisante sous quelques hypothèses techniques.Dans la troisième partie, nous étudions le comportement des modèles de Néron sous des changements de base S'/S finis et modérément ramifiés entre schémas réguliers. Nous verrons qu'une variété abélienne définie génériquement au-dessus de S, si elle admet un modèle de Néron N'/S' après un tel changement de base, doit aussi avoir un modèle de Néron N/S. Dans ce cas, nous expliciterons les quotients successifs d'une certaine filtration de N en termes de N'.

In several areas of mathematics, one encounters families of objects (groups, varieties, schemes, graphs...) parametrized by one or several unknowns, that are well-behaved and easy to define except for a few specific values of these unknowns. Think, for example, of an elliptic curve over the field of rational numbers: starting with an equation with rational coefficients, one can clear denominators and get an equation with integer coefficients, and this equation reduces to the equation of an elliptic curve modulo p for all but a finite number of primes p. Even then, it is often convenient to be able to extend our family into a global, compact one, or at least satisfying some good continuity properties with respect to the parameters. A model of a family of objects defined for all but certain values of the parameters is a way of extending it to all possible values. Incomplete smooth families of schemes (or, more generally, of stacks) sometimes admit a "best possible smooth model", the emph{N'eron model}. This thesis deals with questions of existence and explicit construction of N'eron models. It is divided in three parts.In the first part, we study generically smooth families of nodal curves (i.e. curves with at worst ordinary double points) over a regular base scheme. We define certain birational modifications of such nodal (relative) curves, which we call refinements. We prove that refinements always exist étale-locally on the base. We define invariants measuring the complexity of the singularities of a nodal curve, and explain how refinements can be used to find the nodal models of a generic smooth curve with the simplest singularities.In the second part, we are interested in the existence of Néron models for (families of) Jacobians and curves, over a regular base with no restriction of dimension. First, we introduce a condition on nodal curves called strict alignment. Strict alignment can be read on the dual graph, a simple combinatorial invariant summarizing information about the global structure of the curve and how its singularities vary in families. We show that the generic Jacobian of a generically smooth nodal curve has a Néron model if and only if the curve is strictly aligned. Then, we prove that for a smooth curve to have a Néron model, it is necessary that the singular locus of any nodal model be locally irreducible for the étale topology. Using the contraction morphisms of M(g,n) stacks, we deduce an even stronger necessary condition in terms of dual graphs (equivalent to the closure of this local irreducibility of the singular locus under étale base change and contraction), and we show that this new necessary condition is also sufficient under some technical hypotheses.In the third part, we study the base change behavior of Néron models under finite, tamely ramified morphisms S'/S between regular schemes. We show that if an abelian variety defined generically over S has a N'eron model N'/S' after such a base change, then it admits a Néron model N/S, and we make explicit the successive quotients of a certain filtration of N in terms of N'.