Approche bayésienne pour la sélection de modèles : application à la restauration d’image

par Benjamin Harroue

Thèse de doctorat en Automatique, Productique, Signal et Image, Ingénierie cognitique

Sous la direction de Jean-François Giovannelli et de Marcelo Pereyra.

Soutenue le 30-09-2020

à Bordeaux , dans le cadre de École doctorale des sciences physiques et de l’ingénieur (Talence, Gironde) , en partenariat avec Laboratoire de l'intégration du matériau au système (Talence, Gironde) (laboratoire) .

Le président du jury était Pascal Bordé.

Le jury était composé de Jean-François Giovannelli, Marcelo Pereyra, Pascal Bordé, Hervé Carfantan, Nicolas Dobigeon, Audrey Giremus.

Les rapporteurs étaient Hervé Carfantan, Nicolas Dobigeon.

mots clés

• Sélection de modèles
• Stratégie bayésienne
• Évidence
• Problème inverse
• Cas gaussien
• Matrices circulantes
• Modèles de covariance
• Algorithme de Chib
• Échantillonneur de Gibbs
• Moyenne harmonique
• Power posteriors
• Segmentation bayésienne
• Bruit aléatoire, Théorie du
• Algorithme de Gibbs
• Problème inverse de diffusion
• Analyse harmonique (mathématiques)
• Analyse de covariance

Résumé

L’inversion consiste à reconstruire des objets d’intérêt à partir de données acquises au travers d’un système d’observation. Dans ces travaux, nous nous penchons sur la déconvolution d’image. Les données observées constituent une version dégradée de l’objet, altéré par le système (flou et bruit). A cause de la perte d’informations engendrée, le problème devient alors mal conditionné. Une solution est de régulariser dans un cadre bayésien : en se basant sur des modèles, on introduit de l’information a priori sur les inconnues. Se posent alors les questions suivantes : comment comparer les modèles candidats et choisir le meilleur ? Sur quel critère faut-il s’appuyer ? A quelles caractéristiques ou quantités doit-on se fier ? Ces travaux présentent une méthode de comparaison et de sélection automatique de modèles, fondée sur la théorie de la décision bayésienne. La démarche consiste à sélectionner le modèle qui maximise la probabilité a posteriori. Pour calculer ces dernières, on a besoin de connaître une quantité primordiale : l’évidence. Elle s’obtient en marginalisant la loi jointe par rapport aux inconnus : l’image et les hyperparamètres. Les dépendances complexes entre les variables et la grande dimension de l’image rendent le calcul analytique de l’intégrale impossible. On a donc recours à des méthodes numériques. Dans cette première étude, on s’intéresse au cas gaussien circulant. Cela permet, d’une part, d’avoir une expression analytique de l’intégrale sur l’image, et d’autre part, de faciliter la manipulation des matrices de covariances. Plusieurs méthodes sont mises en œuvre comme l’algorithme du Chib couplé à une chaîne de Gibbs, les power posteriors, ou encore la moyenne harmonique. Les méthodes sont ensuite comparées pour déterminer lesquelles sont les plus adéquates au problème dela restauration d’image.

mots clés

• Models selection
• Bayesian approach
• Evidence
• Inverse problem
• Gaussian case
• Circulant matrices
• Covariance models
• Chib algorithm
• Gibbs sampling
• Harmonic mean
• Power posteriors

Titre traduit

Bayesian approach of models selection : application in image restoration

Résumé

Inversing main goal is about reconstructing objects from data. Here, we focus on the special case of image restauration in convolution problems. The data are acquired through a altering observation system and additionnaly distorted by errors. The problem becomes ill-posed due to the loss of information. One way to tackle it is to exploit Bayesian approach in order to regularize the problem. Introducing prior information about the unknown quantities osset the loss, and it relies on stochastic models. We have to test all the candidate models, in order to select the best one. But some questions remain : how do you choose the best model? Which features or quantities should we rely on ? In this work, we propose a method to automatically compare and choose the model, based on Bayesion decision theory : objectively compare the models based on their posterior probabilities. These probabilities directly depend on the marginal likelihood or “evidence” of the models. The evidence comes from the marginalization of the jointe law according to the unknow image and the unknow hyperparameters. This a difficult integral calculation because of the complex dependancies between the quantities and the high dimension of the image. That way, we have to work with computationnal methods and approximations. There are several methods on the test stand as Harmonic Mean, Laplace method, discrete integration, Chib from Gibbs approximation or the power posteriors. Comparing is those methods is significative step to determine which ones are the most competent in image restauration. As a first lead of research, we focus on the family of Gaussian models with circulant covariance matrices to lower some difficulties.