Invariants polynomiaux et structures algébriques d'objets combinatoires

Polynomial invariants and algebraic structures of combinatorial objects

• Auteur / Autrice : Théo Karaboghossian
• Direction : Adrian Tanasa, Jean-Christophe Aval
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 05/10/2020
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire bordelais de recherche en informatique
• Jury : Président / Présidente : Mireille Bousquet-Mélou
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Adrian Tanasa, Jean-Christophe Aval, Jean-Christophe Novelli, Nantel Bergeron, Frédéric Chapoton, Viviane Pons
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jean-Christophe Novelli, Nantel Bergeron

Mots clés

Mots clés contrôlés

Combinatoire algébrique

Opérades

Théorie des graphes

Hopf, Algèbres de

Mots clés libres

Combinatoire algébrique

Monoïdes de Hopf

Hypergraphes

Invariants polynomial

Opérades

Graphes

Algebraic combinatorics

Hopf monoids

Hypergraphs

Polynomial invariants

Operads

Graphs

Résumé

Dans la première moitié de ce mémoire, nous étudions les invariants polynomiaux définis par Aguiar et Ardila dans arXiv:1709.07504 dans le contexte des monoïdes de Hopf. Nous donnons d'abord une interprétation combinatoire de ces polynômes pour les monoïdes de Hopf des permutaèdres généralisés et des hypergraphes,sur les entiers naturels et négatifs. Nous en déduisons ensuite des interprétations similaires sur d'autres objets combinatoires(graphes, complexes simpliciaux, building sets, etc).Dans la seconde moitié de ce mémoire, nous proposons une nouvelle façon de définir et d'étudier des opérades de multigraphes et d'objets similaires.Nous étudions en particulier deux opérades obtenues avec cette méthode. La première est une généralisation directe de l'opérade Kontsevich-Willwacher,qui peut être considérée comme une opérade canonique sur les multigraphes et possède de nombreuses sous-opérades intéressantes.La seconde est une extension naturelle de l'opérade pré-Lie et a aussi un lien avec l'opérade précédente.Nous présentons également divers résultats sur certaines sous-opérades finiment enegendrées et établissons des liens entre elles et les opérades commutative et commutative magmatique.

In the first half of this dissertation, we study the polynomial invariants defined by Aguiar and Ardila in arXiv:1709.07504 in the context of Hopf monoids. We first give a combinatorial interpretation of these polynomials over the Hopf monoids of generalized permutahedra and hypergraphs in both non negative and negative integers. We then use them to deduce similar interpretation on other combinatorial objects(graphs, simplicial complexes, building sets, etc).In the second half of this disseration, we propose a new way of defining and studying operads on multigraphs and similar objects.We study in particular two operads obtained with our method. The former is a direct generalization of the Kontsevich-Willwacher operad.This operad can be seen as a canonical operad on multigraphs,and has many interesting suboperads.The latter operad is a natural extension of the pre-Lie operad in a sense developed here and it is related to the multigraph operad. We also present various results on some of the finitely generated suboperads of the multigraph operad and establish links between them and the commutative operad and the commutative magmatic operad.