Thèse soutenue

Dynamique topologique des extractions périodiques pour les sous-shifts substitutifs
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Auteur / Autrice : Valérie Simon Goyheneche
Direction : Fabien Durand
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 23/10/2020
Etablissement(s) : Amiens
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences, technologie et santé (Amiens)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire amiénois de mathématique fondamentale et appliquée
Jury : Président / Présidente : Élise Janvresse
Examinateurs / Examinatrices : Fabien Durand, Valérie Berthé, Michel Rigo, Samuel Petite, Anna Frid, Luca Zamboni
Rapporteurs / Rapporteuses : Valérie Berthé, Michel Rigo

Mots clés

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Mots clés contrôlés

Mots clés libres

Résumé

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L'objet central de cette thèse est l'étude des systèmes dynamiques substitutifs, ou plus généralement des systèmes dynamiques morphiques. Nous abordons deux questions liées à la périodicité pour de tels systèmes. Dans un premier temps, on cherchera à déterminer si une suite morphique uniformément récurrente possède une progression arithmétique constante. De façon équivalente, cela revient à déterminer si un cylindre de la forme [a] est visité avec une période donnée dans le système dynamique considéré, où a est une lettre de l'alphabet sur lequel est défini notre système. Cette périodicité est fortement liée aux valeurs propres racines de l'unité associées au système dynamique. Une première partie de notre travail consistera à déterminer ces valeurs propres. Celle-ci se conclut sur le résultat suivant : l'ensemble des valeurs propres racines de l'unité d'un système dynamique morphique définissant une suite uniformément récurrente est calculable algorithmiquement. Afin de déterminer si une suite morphique possède une progression arithmétique constante, on étudie le cas des suites substitutives primitives définies par un morphisme lettre-à-lettre ; nous verrons que toute suite morphique uniformément récurrente peut se décrire de cette façon. Dans le cas où la substitution est de longueur constante, nous présentons une méthode permettant de décrire toutes les progressions arithmétiques constantes à l'aide d'un graphe. Dans le cas contraire, étant donné un entier p, nous pouvons déterminer si la suite substitutive considérée possède une progression arithmétique constante de période p. Nous présentons des exemples variés qui illustrent ces méthodes pour différents suites morphiques. Des algorithmes ont été développés pour aller plus loin dans nos calculs. Ils sont présentés en annexe. Une autre partie de notre travail est consacrée aux suites extraites périodiquement des suites substitutives, et en particulier le lien entre la suite initiale et celle qui en a été extraite. Nous rappelons en détails l'algorithme permettant de construire une substitution engendrant la suite extraite. En nous appuyant sur cet algorithme, nous comparons les matrices des deux substitutions. Nous montrons qu'elles ont la même valeur propre dominante