Relations d'Einstein et de Nyquist pour des diffusions en milieu aléatoire perturbées par une force périodique en temps

Einstein and Nyquist relations for diffusions in a random environment perturbed by a time-periodic external force

• Auteur / Autrice : Quentin Ghibaudo
• Direction : Pierre Mathieu
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 18/12/2020
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : École Doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Marseille (I2M)
• Jury : Président / Présidente : Rémi Rhodes
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Alejandro Francisco Ramírez, François Hamel
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Stefano Olla, Nina Gantert

Mots clés

Mots clés contrôlés

Variables aléatoires

Convergence (mathématiques)

Loi des grands nombres

Relativité restreinte (physique)

Processus de diffusion

Probabilités

Mots clés libres

Diffusions en milieu aléatoire

Loi des grands nombres

Relation d'Einstein

Relations de Nyquist

Réponse linéaire

Perturbation dépendant périodiquement du temps

Diffusions in random environment

Law of Large Numbers

Einstein Relation

Nyquist Relations

Linear Response

Time-Periodic perturbation

Résumé

On considère un processus de diffusion réversible X évoluant dans un milieu aléatoire stationnaire, et tel que X converge en loi vers un Brownien centré de matrice de diffusion a0 sous le changement d'échelle usuel : ∈ X(./ ∈2), ∈ to 0. Ensuite, on perturbe cette diffusion en lui appliquant une force extérieure, aléatoire, stationnaire en espace et périodique en temps, et d'intensité λ > 0. La question est de savoir comment la diffusion répond à cette perturbation, en particulier lorsque λ tend vers 0. On montre qu'en présence de la perturbation, la diffusion, ainsi que ses coefficients de Fourier, acquièrent une dérive. On prouve d'abord un principe d'invariance sur l'échelle de Lebowitz et Rost, c'est à dire que λXλ(·/λ2) converge, quand λ tend vers 0, vers un Brownien de matrice de covariance a0 et de dérive d0. On prouve ensuite une loi des grands nombres sous la dynamique perturbée : s−1Xλ(s) converge presque sûrement vers v(λ). Puis, on prouve que v(λ) est dérivable en v′(0) et on établit la relation d'Einstein. On obtient des résultats similaires pour les coefficients de Fourier de la diffusion, établissant ainsi les relations de Nyquist. Enfin, on applique ces résultats à certaines perturbations particulières

This thesis deals with the linear response of diffusions in a random environment due to a time-periodic external perturbation. Let X be a diffusion process in a random environment such that X converges weakly towards a Brownian motion with covariance matrix a0, when space and time are appropriately scaled: ∈ X(./ ∈2), ∈ to 0. Then, perturb this diffusion by a random, stationary and time-periodic external force of intensity λ > 0. We study the behavior of this perturbed diffusion process, denoted by Xλ especially as λ tends to zero. We prove that the perturbed diffusion and its Fourier coefficients get an asymptotic drift. First, we prove an invariance principle on the Lebowitz and Rost scale. Namely, we show that lambda X^lambda(cdot lambda^2) converges, as lambda tends to 0, towards a Brownian motion with covariance matrix a0 and drift d0. Then, we prove a law of large numbers under the perturbed dynamic: X^lambda(s)/s converges almost surely to v(lambda). In addition, we prove that v(lambda) is differentiable at 0 and we get the Einstein relation. We prove then very similar results for the Fourier coefficients of the diffusion, hence establishing the Nyquist relations. Finally, we apply our results to concrete examples of perturbations