Mesures quasi-stationnaires et applications à la modélisation de l'évolution biologique

Quasi-stationary distributions and application to models of biological evolution

• Auteur / Autrice : Aurélien Velleret
• Direction : Etienne Pardoux, Michael Kopp
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 09/07/2020
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille ; 1994-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Marseille (I2M)
• Jury : Président / Présidente : Vincent Bansaye
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Sylvie Méléard, François Hamel
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Nicolas Champagnat, Michel Benaïm

Mots clés

Mots clés contrôlés

Biologie systémique

Modèles mathématiques

Évolution (biologie)

Markov, Processus de

Mesures excessives (mathématiques)

Processus stochastiques

Mots clés libres

Distribution quasi-Stationnaire

Écologie

Évolution

Méta-Stabilité

Modèle de l'optimum mobile

Sélection de groupe

Équations de réaction-Diffusion

Cliquet de Muller

Processus à sauts

Limites en temps longs

Limites d'échelles

Processus de branchement

Quasi-Stationary distribution

Ecology

Evolution

Meta-Stability

Model of the mobile optimum

Group selection

Reaction-Diffusion equations

Muller's ratchet

Jump processes

Long time limits

Scaling limits

Branching processes

Résumé

Je décris le comportement en temps long de plusieurs processus qui illustrent les mécanismes de sélection naturelle. Il arrive que ces effets de sélection s’interprètent comme un conditionnement qui biaise la dynamique d’un processus aléatoire "neutre". Ce processus évolue sur un espace potentiellement très général, notamment continu et non borné. On peut ainsi caractériser aussi bien la dynamique du profil complet de la population que celle du profil d’un individu choisi uniformément dans la population. On voit naturellement apparaître dans ces modèles des transitions brutales de ces lois qui rendent l’analyse plus délicate que pour les modèles sans conditionnement. La première partie de ce travail consiste à mettre en place des conditions permettant d’obtenir des résultats analogues à la stationnarité lorsqu’on prend en compte un tel conditionnement. La seconde porte sur l’application de ces critères à différents modèles de population sous sélection et sur leur interprétation. Les exemples d'applications concernent le modèle de l'optimum mobile pour l'adaptation à un changement environnemental, un modèle de sélection de groupes et celui du cliquet de Müller sur le maintien d'une sous-population préservée des mutations délétères

I describe the long term behavior of several processes that model the mechanisms of natural selection. In the cases under consideration, one can interpret those selective effects as a conditioning which introduces a bias on the dynamics of some « neutral » stochastic process. This process evolves in a potentially very general space, notably continuous and unbounded. By these means, one can characterize the dynamics of the whole profile of individuals in the population of study as well as the profile of an individual uniformly chosen in the population. One can naturally see in these descriptions some brutal transitions of the distribution laws as time evolves, which makes the analysis much trickier than for the models without conditioning. The first part of this thesis consists in setting the conditions under which one can prove results analogous to the notion of stationarity while taking the conditioning into account. The second part is dedicated to the application of these criteria for a diversity of models of populations under selection and their interpretation. Examples of application include the mobile optimum model for adaptation to environmental change, a group selection model and Müller's ratchet model that describes how the sub-population unaffected by deleterious mutations can maintain itself