Classes de Chern des faisceaux analytiques cohérents : une approche simpliciale

Chern classes of coherent analytic sheaves : a simplicial approach

• Auteur / Autrice : Timothy Hosgood
• Direction : Julien Grivaux, Damien Calaque
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 25/06/2020
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : École Doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Marseille (I2M)
• Jury : Président / Présidente : Bertrand Toën
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Joana Cirici, Erwan Rousseau, Pascal Hubert
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Junwu Tu, Mahmoud Zeinalian

Mots clés

Mots clés contrôlés

Faisceaux analytiques

Faisceaux analytiques cohérents

De Rham, Cohomologie de

Faisceaux, Théorie des

Topologie algébrique

Chern, Classes de

Mots clés libres

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Résumé

L’objet de cette thèse est de réinterpréter et de poursuivre un travail non publié de Green, dont l’objet est de construire des classes de Chern pour les faisceaux analytiques cohérents à valeurs dans la cohomologie de De Rham en respectant la filtration de Hodge. La seconde partie de la thèse est consacrée à la construction d’un enrichissement catégorique de la catégorie dérivée bornée des complexes de faisceaux cohérents sur une variété complexe arbitraire: les objets considérés sont des fibrés vectoriels « simpliciaux » munis d’un type spécial de connexions simpliciales. Cette construction repose sur la théorie des cochaînes tordues, développée dans ce cadre par O’Brian, Toledo, et Tong. La première partie est consacrée à définir un relèvement catégorique via le modèle précédent d’un caractère de Chern en cohomologie de De Rham respectant la filtration de Hodge. Cette construction peut être réalisée en adaptant la théorie de Chern-Weil classique au cadre simplicial, via la théorie de l’intégration fibrée de Dupont

The aim of this thesis is to review and improve upon an unpublished thesis by Green, whose goal was to construct Chern classes of coherent analytic sheaves in de Rham cohomology that respect the Hodge filtration. The second part of this thesis is dedicated to the construction of a categorical enrichment of the bounded derived category of complexes of coherent sheaves on an arbitrary complex manifold: the objects are `simplicial' vector bundles endowed with a certain type of simplicial connection. This construction uses the theory of twisting cochains, developed in this setting by O'Brian, Toledo, and Tong. The first part is dedicated to defining a categorical lift of the Chern character in de Rham cohomology that respects the Hodge filtration, and for this we use the categorical model mentioned above. This construction can be undertaken by adapting classical Chern-Weil theory to the simplicial setting, using Dupont's theory of fibre integration