Déformations de Christoffel et loi des grands nombres pour des processus déterminantaux discrets

Christoffel deformations and law of large numbers for discrete determinantal processes

• Auteur / Autrice : Pierre Lazag
• Direction : Alexander Bufetov, Alexander Borichev
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 02/06/2020
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille ; 1994-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Marseille (I2M)
• Jury : Président / Présidente : Pascal Hubert
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Alice Guionnet, Grigori Olshanski, Nizar Demni
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Philippe Biane, Tamara Grava

Mots clés

Mots clés contrôlés

Landau, Théorie de (transitions de phases)

Bessel, Fonctions de

Probabilités

Opérateurs polynomiaux

Loi des grands nombres

Mots clés libres

Processus déterminantal

Déformations de Christoffel

Z-Mesures

Partitions planes aléatoires

Noyau de Bessel discret

Niveaux de Landau hyperboliques

Determinantal process

Christoffel deformations

Z-Measures

Random plane partitions

Discrete Bessel kernel

Hyperbolic Landau levels

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude de certaines propriétés d'exemples de classes de processus déterminantaux. Dans une première partie, nous nous intéressons aux processus déterminantaux reliés aux niveaux de Landau supérieurs du laplacien magnétique dans le disque unité. Nous donnons une estimation précise de la variance asymptotique du nombre de points dans un disque dont le rayon tend vers 1 -. Dans une deuxième partie, nous introduisons les déformations de Christoffel d'ensemble polynômiaux orthogonaux discrets, en multipliant la mesure d'orthogonalité sous-jacente par un polynôme positif. Nous montrons que les déformations de Christoffel de l'ensemble de Charlier convergent vers des déformations du processus de Bessel discret ; nous montrons également que les déformations de Christoffel des z-mesures sont des processus déterminantaux dont nous explicitons le noyau ; enfin, nous établissons que les déformations de Christoffel des z-mesures non-dégénérées convergent vers des déformation du processus avec le noyau Gamma. Dans une dernière partie, nous établissons une loi des grands nombre pour les motifs locaux de partitions planes aléatoires, généralisant à deux dimensions un phénomène apparaissant pour les mesures de Schur unidimensionnelles

This thesis studies several aspects of classes of determinantal processes. In a first part, we introduce determinantal processes arising from the higher Landau levels in the unit disk. We give a precise asymptotic for the variance of the number of points inside a disk of which the radius tends to one -. In a second part, we introduce the Christoffel deformations of discrete orthogonal polynomial ensembles, by multiplying the underlying orthogonality measure by a positive polynomial. We prove that the Christoffel deformatons of the Charlier ensemble converge towards deformations of the discrete Bessel process ; we also establish that Christoffel deformations of the z-measures are determinantal point process with an explicit kernel ; we eventually prove that the Christoffel deformations of the non-degenerate z-measures converge to a modification of the process with the Gamma kernel. In the last part, we establish a law of large numbers for local patterns in random plane partitions, generalizing in dimension two a phenomenon that occurs for a class of one dimensional Schur measures