Poids du motif bord de certaines variétés de Shimura

Weights of the boundary motive of some Shimura varieties

• Auteur / Autrice : Mattia Cavicchi
• Direction : Jörg Wildeshaus
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 05/07/2019
• Etablissement(s) : Sorbonne Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Analyse, géométrie et applications (LAGA) (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de préparation : Université Sorbonne Paris Nord (Bobigny, Villetaneuse, Seine-Saint-Denis ; 1970-....)
• Jury : Président / Présidente : Jacques Tilouine
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Giuseppe Ancona, Charles de Clercq, Luca Migliorini, Alberto Vezzani
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Marc Noel Levine, Rutger Noot

Mots clés

Mots clés contrôlés

Formes automorphes

Faisceaux, Théorie des

Motifs (mathématiques)

Shimura, Variétés de

Mots clés libres

Théorie des poids

Theory of weight

Résumé

Pour S une variété de Shimura associée à un groupe réductif G, nous étudions la filtration par le poids dans la cohomologie des variations de structure de Hodge µH(V) et des faisceaux ℓ-adiques µℓ(V) sur S construits à partir des représentations algébriques de G, avec le but de définir des motifs pour les représentations automorphes de G.Dans les deux premiers chapitres nous rappelons les théories utilisées et nous y ajoutons des compléments. Dans le premier, nous faisons un survol des relations entre cohomologie des variétés de Shimura, représentations automorphes et théorie des poids, tandis que dans le deuxième nous introduisons les motifs de Chow et de Beilinson relatifs sur les variétés de Shimura de type PEL, ainsi que les applications de la théorie des structures des poids dans ce contexte. En particulier, nous étudions en détail l’action de l’algèbre de Hecke au niveau des motifs.Dans les deux derniers chapitres, nous nous concentrons sur le cas du groupe G =ResF|ℚGSp₄,F , où F est un corps de nombres totalement réel, et sur les variétés de Shimura S qui lui sont associées, les variétés de Shimura de Hilbert-Siegel de genre 2. Dans le troisième chapitre, nous menons une étude approfondie de la dégénérescence des faisceaux µℓ(V) au bord de la compactification de Baily-Borel de S. Nous parvenons à décrire les poids en terme d’un invariant de la représentation V , appelé corang. Nous en déduisons une caractérisation complète des représentations V telles que la dégénérescence de µℓ(V) évite les poids 0 et 1, une classe qui s’avère être très large.Dans le quatrième chapitre, étant donnée une représentation V de G qui vérifie la condition susmentionnée, nous définissons des motifs attachés aux représentations automorphes apparaissant dans la cohomologie du faisceau µℓ(V). Nous étudions donc les propriétés de ces motifs.

Given a Shimura variety S associated to a reductive group G, we study the weight filtration in the cohomology of variations of Hodge structure µH(V ) and ℓ-adic sheaves µℓ(V) on S coming from algebraic representations V of G, with the aim of constructing motives for automorphic representations of G.In the first two chapters we review the theories that we use and we give some complements to them. In the first one we summarize the relationship between cohomology of Shimura varieties, automorphic representations and weights, whereas in the second one we recall relative Chow and Beilinson motives over PEL Shimura varieties and the applications of the theory of weight structures to this setting. In particular, we study in detail the action of the Hecke algebra at the level of motives. In the last two chapters we concentrate on the case of the group G =ResF|ℚGSp₄,F , for F a totally real number field, and to the associated Shimura varieties S (genus 2 Hilbert-Siegel varieties). In the third chapter, we study in detail the weight filtration on the degeneration of the sheaves µℓ(V) along the boundary of the Baily-Borel compactification of S. We are able to describe the weights in terms of an invariant of the representation V , called corank. From this, we deduce a complete characterization of the representations V such that the degeneration of µℓ(V) avoids the weights 0 and 1, and we find that they form a quite large class. In the fourth chapter, given such a representation V, we define motives for those automorphic representations of G which appear in the cohomology of µℓ(V). We then study the properties of such motives.