Distances comportementales pour des programmes probabilistes d'ordre supérieur

Behavioural distances for probabilistic higher-order programs

• Auteur / Autrice : Raphaëlle Crubillé
• Direction : Thomas Ehrhard, Ugo Dal Lago
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 20/06/2019
• Etablissement(s) : Sorbonne Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université Paris Diderot - Paris 7 (1970-2019)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche en informatique fondamentale (Paris ; 2016-....)
• Jury : Président / Présidente : Jean Goubault-Larrecq
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Thomas Ehrhard, Ugo Dal Lago, Jean Goubault-Larrecq, Paul Blain Levy, Alexander Simpson, Christine Tasson, Catuscia Palamidessi
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Paul Blain Levy, Alexander Simpson

Mots clés

Mots clés contrôlés

Lambda-calcul

Logique mathématique

Langages de programmation -- Sémantique

Mots clés libres

Computations probabilistes d'ordre supérieur

Bisimulation applicative

Espaces cohérents probabilistes

Distances entre programmes

Probabilistic higher-order computations

Semantics of programming languages

Applicative bisimulation

Probabilistic coherence spaces

Distance for programs

Résumé

Cette thèse est consacrée à l’étude d’équivalences et de distances comportementales destinées à comparer des programmes probabilistes d’ordre supérieur. Le manuscrit est divisé en trois parties. La première partie consiste en une présentation des langages probabilistes d’ordre supérieur, et des notions d’équivalence et de distance contextuelles pour de tels langages.Dans une deuxième partie, on suit une approche opérationnelle pour construire des notions d’équivalences et de métriques plus simples à manipuler que les notions contextuelles : on prend comme point de départ les deux équivalences comportementales pour le lambda-calcul probabiliste équipé d’une stratégie d’évaluation basée sur l’appel par nom introduites par Dal Lago, Sangiorgi and Alberti : ces derniers définissent deux équivalences–la trace équivalence, et la bisimulation probabiliste, et montrent que pour ce langage, la trace équivalence permet de complètement caractériser–i.e. est pleinement abstraite– l’équivalence contextuelle, tandis que la bisimulation probabiliste est une approximation correcte de l’équivalence contextuelle, mais n’est pas pleinement abstraite. Dans la partie opérationnelle de cette thèse, on montre que la bisimulation probabiliste redevient pleinement abstraite quand on remplace la stratégie d’évaluation par nom par une stratégie d’évaluation par valeur. Le reste de cette partie est consacrée à une généralisation quantitative de la trace équivalence, i.e. une trace distance sur les programmes. On introduit d’abord une trace distance pour un λ-calcul probabiliste affine, i.e. où le contexte peut utiliser son argument au plus une fois, et ensuite pour un λ-calcul probabiliste où les contextes ont la capacité de copier leur argument; dans ces deux cas, on montre que les distances traces obtenues sont pleinement abstraites.La troisième partie considère deux modèles dénotationnels de langages probabilistes d’ordre supérieur : le modèle des espaces cohérents probabiliste, dû à Danos et Ehrhard, qui interprète le langage obtenu en équipant PCF avec des probabilités discrètes, et le modèle des cônes mesurables et des fonctions stables et mesurables, développé plus récemment par Ehrhard, Pagani and Tasson pour le langage obtenu en enrichissant PCF avec des probabilités continues. Cette thèse établit deux résultats sur la structure de ces modèles. On montre d’abord que l’exponentielle de la catégorie des espaces cohérents peut être exprimée en utilisant le comonoide commutatif libre : il s’agit d’un résultat de généricité de cette catégorie vue comme un modèle de la logique linéaire. Le deuxième résultat éclaire les liens entre ces deux modèles : on montre que la catégorie des cônes mesurables et des fonctions stables et mesurable est une extension conservatrice de la catégorie de co-Kleisli des espaces cohérents probabilistes. Cela signifie que le modèle récemment introduit par Ehrhard, Pagani et Tasson peut être vu comme la généralisation au cas continu du modèle de PCF équipé avec des probabilités discrètes dans les espaces cohérents probabilistes.

The present thesis is devoted to the study of behavioral equivalences and distances for higher-order probabilistic programs. The manuscript is divided into three parts. In the first one, higher-order probabilistic languages are presented, as well as how to compare such programs with context equivalence and context distance.The second part follows an operational approach in the aim of building equivalences and metrics easier to handle as their contextual counterparts. We take as starting point here the two behavioral equivalences introduced by Dal Lago, Sangiorgi and Alberti for the probabilistic lambda-calculus equipped with a call-by-name evaluation strategy: the trace equivalence and the bisimulation equivalence. These authors showed that for their language, trace equivalence completely characterizes context equivalence—i.e. is fully abstract, while probabilistic bisimulation is a sound approximation of context equivalence, but is not fully abstract. In the operational part of the present thesis, we show that probabilistic bisimulation becomes fully abstract when we replace the call-by-name paradigm by the call-by-value one. The remainder of this part is devoted to a quantitative generalization of trace equivalence, i.e. a trace distance on programs. We introduce first e trace distance for an affine probabilistic lambda-calculus—i.e. where a function can use its argument at most once, and then for a more general probabilistic lambda-calculus where functions have the ability to duplicate their arguments. In these two cases, we show that these trace distances are fully abstract.In the third part, two denotational models of higher-order probabilistic languages are considered: the Danos and Ehrhard's model based on probabilistic coherence spaces that interprets the language PCF enriched with discrete probabilities, and the Ehrhard, Pagani and Tasson's one based on measurable cones and measurable stable functions that interpret PCF equipped with continuous probabilities. The present thesis establishes two results on these models structure. We first show that the exponential comonad of the category of probabilistic coherent spaces can be expressed using the free commutative comonoid: it consists in a genericity result for this category seen as a model of Linear Logic. The second result clarify the connection between these two models: we show that the category of measurable cones and measurable stable functions is a conservative extension of the co-Kleisli category of probabilistic coherent spaces. It means that the recently introduced model of Ehrhard, Pagani and Tasson can be seen as the generalization to the continuous case of the model for PCF with discrete probabilities in probabilistic coherent spaces.