Théorie combinatoire du cocycle de Kontsevich–Zorich

Combinatorial theory of the Kontsevich–Zorich cocycle

• Auteur / Autrice : Rodolfo Gutiérrez
• Direction : Anton Zorich, Carlos Matheus
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques. Géométrie et dynamique
• Date : Soutenance le 08/04/2019
• Etablissement(s) : Sorbonne Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université Paris Diderot - Paris 7 (1970-2019)
• Jury : Président / Présidente : Hakan L. Eliasson
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Anton Zorich, Carlos Matheus, Hakan L. Eliasson, Giovanni Forni, Pascal Hubert, Yves Benoist, Federico Juan Rodríguez Hertz, Élise Goujard
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Giovanni Forni, Pascal Hubert

Mots clés

Mots clés contrôlés

Groupes de monodromie

Teichmüller, Espaces de

Plans de translation

Fonctions abéliennes

Formes différentielles

Formes quadratiques

Riemann, Surfaces de

Mots clés libres

Différentielle quadratique

Différentielle abélienne

Surface de demi-translation

Cocycle de Kontsevich-Zorich

Algorithme de Rauzy–Veech

Surface à petits carreaux

Quadratic differential

Abelian differential

Half-translation surface

Kontsevich–Zorich cocycle

Rauzy–Veech algorithm

Square-tiled surface

Résumé

En ce travail, trois questions liées au cocycle de Kontsevich–Zorich dans l'espaces de modules des différentielles quadratiques sont étudies avec des techniques combinatoires.Les deux premières impliquent la structure des groupes de Rauzy–Veech des différentielles abéliennes et quadratiques, respectivement. Ces groupes encodent l'action homologique des orbites presque fermées du flot géodésique de Teichmüller dans une composante connexe donnée d'une strate via le cocycle de Kontsevich–Zorich. Pour le cas abélien, on classifie complètement ces groupes et on montre qu'ils sont des sous-groupes explicites des groupes symplectiques, et qu'ils sont commensurables avec des réseaux arithmétiques. Pour le cas quadratique, on montre qu'ils sont aussi commensurables avec des réseaux arithmétiques si certaines conditions sur les ordres des singularités sont satisfaites.La troisième question implique la réalisabilité de certain groupes algébriques comme adhérences de Zariski des groupes de monodromie des surfaces à petits carreaux. En fait, on montre que quelques groupes de la forme SO*(2d) sont réalisables comme telles adhérences

In this work, three questions related to the Kontsevich--Zorich cocycle in the moduli space of quadratic differentials are studied by using combinatorial techniques.The first two deal with the structure of the Rauzy--Veech groups of Abelian and quadratic differentials, respectively. These groups encode the homological action of almost-closed orbits of the Teichmüller geodesic flow in a given component of a stratum via the Kontsevich--Zorich cocycle. For Abelian differentials, we completely classify such groups, showing that they are explicit subgroups of symplectic groups that are commensurable to arithmetic lattices. For quadratic differentials, we show that they are also commensurable to arithmetic lattices of symplectic groups if certain conditions on the orders of the singularities are satisfied.The third question deals with the realisability of certain algebraic groups as Zariski-closures of monodromy groups of square-tiled surfaces. Indeed, we show that some groups of the form SO*(2d) are realisable as such Zariski-closures