Anneaux de Grothendieck quantiques, algèbres amassées et catégorie O affine quantique

Quantum Grothendieck rings, cluster algebras and quantum affine category O

• Auteur / Autrice : Léa Bittmann
• Direction : David Hernandez
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 16/07/2019
• Etablissement(s) : Sorbonne Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université Paris Diderot - Paris 7 (1970-2019)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Bernhard Keller
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : David Hernandez, Bernhard Keller, Vyjayanthi Chari, Pierre-Guy Plamondon, Hiraku Nakajima, Michela Varagnolo
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Vyjayanthi Chari, Pierre-Guy Plamondon

Mots clés

Mots clés contrôlés

Algèbres amassées

Grothendieck, Groupes de

Représentations de groupes quantiques

Groupes quantiques

Mots clés libres

Théorie des représentations

Algèbres affines quantiques

Catégorie O

Anneaux de Grothendieck quantiques

Algèbres amassées quantiques

Quantum groups

Representation theory

Quantum affine algebras

Category O

Quantum Grothendieck rings

Quantum cluster algebra

Résumé

L'objectif de cette thèse est de construire et d'étudier une structure d'anneau de Grothendieck quantique pour une catégorie O de représentations de la sous-algèbre de Borel Uq(b) d'une algèbre affine quantique Uq(g). On s'intéresse dans un premier lieu à la construction de modules standards asymptotiques pour la catégorie O, qui sont des analogues des modules standards existant dans la catégorie des représentations de dimension finie de Uq(^g). Une construction complète de ces modules est proposée dans le cas où l'algèbre de Lie simple sous-jacente g est sl2. Ensuite, nous définissons un tore quantique qui étend le tore quantique contenant l'anneau de Grothendieck quantique de la catégorie des représentations de dimension finie.Nous utilisons pour cela des notions liées aux algèbres amassées quantiques. Dans le même esprit, nous proposons une construction d'une structure d'algèbre amassée quantique sur l'anneau de Grothendieck quantique Kt(Cz) d'une sous-catégorie monoïdale Cz de la catégorie des représentations de dimension finie. Puis, nous définissons un anneau de Grothendieck quantique Kt(O+Z) d'une sous catégorie O+Z de la catégorie O, comme une algèbre amassée quantique. Nous établissons ensuite que cet anneau de Grothendieck quantique contient celui de la catégorie des représentations de dimension finie. Ce résultat est montré directement en type A, puis en tout type simplement lacé en utilisant la structure d'algèbre amassée quantique de Kt(CZ).Enfin, nous définissons des (q,t)-caractères pour des représentations simples de dimension infinie remarquables de la catégorie O. Ceci nous permet d'écrire des versions t-déformées de relations importantes dans l'anneau de Grothendieck classique de la catégorie O+Z qui ont des liens avec les systèmes intégrables quantiques associés.

The aim of this thesis is to construct and study some quantum Grothendieck ring structure for the category O of representations of the Borel subalgebra Uq(^b) of a quantum affine algebra Uq(^g). First of all, we focus on the construction of asymptotical standard modules, analogs in the context of the category O of the standard modules in the category of finite-dimensional Uq(^g)-modules. A construction of these modules is given in the case where the underlying simple Lie algebra g is sl2. Next, we define a new quantum torus, which extends the quantum torus containing the quantum Grothendieck ring of the category of finite-dimensional modules. In order todo this, we use notions linked to quantum cluster algebras. In the same spirit, we build a quantum cluster algebra structure on the quantum Grothendieck ring of a monoidal subcategory CZ of the category of finite-dimensional representations. With this quantum torus, we de_ne the quantum Grothendieck ring Kt(O+Z) of a subcategory O+Z of the category O as a quantum cluster algebra. Then, we prove that this quantum Grothendieck ring contains that of the category of finite-dimensional representation. This result is first shown directly in type A, and then in all simply-laced types using the quantum cluster algebra structure of Kt(CZ). Finally, we define (q,t)-characters for some remarkable infinite-dimensional simple representations in the category O+Z. This enables us to write t-deformed analogs of important relations in the classical Grothendieck ring of the category O, which are related to the corresponding quantum integrable systems.