Méthodes de Monte-Carlo accélérées pour les processus Markoviens déterministes par morceaux, pour une estimation plus rapide de la fiabilité de centrale électriques dans l'outil PyCATSHOO

Accelerated Monte-Carlo methods for piecewise deterministic Markov processes for a faster reliability assessment of power generation systems within the PyCATSHOO toolbox

• Auteur / Autrice : Thomas Galtier
• Direction : Josselin Garnier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques. Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 20/09/2019
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de probabilités et modèles aléatoires (Paris ; 1997-2017)
• Jury : Président / Présidente : Stéphane Boucheron
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Josselin Garnier, Stéphane Boucheron, Benoîte de Saporta, Marko Čepin, Hassane Chraibi, Nicolae Brinzei, Randal Douc
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Benoîte de Saporta, Marko Čepin

Mots clés

Mots clés contrôlés

Sécurité énergétique

Markov, Processus de -- Solutions numériques

Mots clés libres

Tirage préférentiel

Filtre particulaire

Importance sampling

Interacting particle sytem

Résumé

Cette thèse porte sur l'estimation de la fiabilité des centrales hydrauliques et nucléaires construites et exploitées par EDF (Électricité de France). La défaillance d'une centrale étant associée à des conséquences majeures (crue, rupture de barrage, ou fusion du cœur), pour des raisons réglementaires et de sûreté EDF doit s'assurer que la probabilité de défaillance d'une centrale est suffisamment faible.La défaillance de tels système intervient lorsque des variables physiques (température, pression, niveau d'eau) dépassent un certain seuil critique. Typiquement, ces variables entrent dans cette région critique seulement lorsque plusieurs composants du système sont détériorés. Donc pour estimer la probabilité de défaillance du système, nous devons modéliser conjointement le comportement des composants et celui des variables physiques. Pour ce faire nous utilisons un modèle basé sur un Processus Markovien Déterministe par Morceaux (PDMP).Ce modèle permet d'estimer la probabilité de défaillance du système par simulation. Malheureusement le modèle demande d'importantes ressources de calcul pour être simulé. La méthode classique d'estimation par Monte-Carlo, qui demande beaucoup de simulations pour estimer les probabilités d'événements rares, est alors beaucoup trop lente à exécuter dans notre contexte. Il est nécessaire d'utiliser des méthodes faisant appel à moins de de simulations pour estimer la probabilité de défaillance du système : des méthodes de réduction de variance.Parmi les méthodes de réduction de variance on distingue les méthodes de type "tirage préférentiel" (importance sampling) et les méthodes de type "splitting", mais ces méthodes présentent des difficultés lorsqu'elles sont employées avec des PDMPs.En effets les fondements théoriques du tirage préférentiel avec les PDMPs sont encore à définir. Pour être utilisé le tirage préférentiel demande de pondérer les simulations par un rapport de vraisemblance, et, pour les trajectoires de PDMPs, ce rapport de vraisemblance n'a pas pas encore été rigoureusement défini jusqu’ici. Aussi des processus d'importance efficaces pour les PDMP sont encore à définir. Cette thèse propose une façon de construire rigoureusement le rapport de vraisemblance, puis étudie les caractéristique du processus d'importance optimal pour les PDMPs, elle en déduit une façon pratique de spécifier un processus d'importance efficace. Cette méthode est testée sur des systèmes de différentes tailles, les résultats montrent de très bonnes performances sur de petits systèmes, mais sur des systèmes de tailles industrielles la méthode proposée reste encore difficile à mettre en œuvre.Les méthodes de splitting sont connues pour ne pas bien fonctionner sur des PDMPs à faibles intensités de sauts comme les systèmes fiables considérés dans cette thèse. En effet, sur de tels processus, l'efficacité des méthodes de splitting est parfois moins bonne que celle de la méthode de Monte-Carlo. Cette thèse propose une adaptation de la méthode de splitting "interacting particles system" (IPS) pour les PDMPs à faibles intensités de sauts, et étudie les propriétés asymptotiques de cette méthode adaptée aux PDMPs à faibles intensités de sauts. L'efficacité de cette méthode adaptée est testée sur un système de faible taille, montrant des performances légèrement meilleures ou équivalentes à la méthode de Monte-Carlo.Un résultat théorique sur la méthode IPS est aussi proposé en dehors du cadre des PDMPs. La méthode IPS prend en entrée des fonctions de potentiel qui ont un impact sur la variance de l'estimateur de la méthode. Cette thèse montre qu'il existe des fonctions de potentiel optimales pour lesquelles la variance de l'estimateur est minimale, et donne l'expression de ces fonctions de potentiel optimales.

This thesis deals with the reliability assessment of nuclear or hydraulic power plants, which are built and exploited by the company EDF (Électricité de France). As the failures of such systems are associated to major human and environmental consequences, for both safety and regulatory reasons, EDF must ensure that the probability of failure of its power generation systems is low enough. The failure of a system occurs when the physical variables characterizing the system (temperature, pression, water level) enter a critical region. Typically, these physical variables can enter a critical region only when a sufficient number of the basic components within the system are damaged. So, in order to assess the probability of having a system failure, we have to jointly model the evolution of the physical variables and of the statuses of the components. To do so we use a model based on piecewise deterministic Markovian processes (PDMPs).This model allows to estimate the probability of failure of the system by simulation. Unfortunately the model is computationally intensive to run, and the classic Monte-carlo method, which needs a lot of simulations to estimate the probability of a rare event, is then too computationally intensive in our context. Methods requiering less simulations are needed, like for instance variance reduction methods.Among variance reduction methods, we distinguish importance sampling methods and splitting methods. The difficulty is that we need to use these methods on PDMPs, which raises a few issues.The theoretical foundations for the importance sampling methods with PDMPs are yet to be defined. Indeed these methods require to weight the simulations with likelihood ratios, and these likelihood ratios have not been properly defined so far for PDMP trajectories, which are degenerate processes. Also efficient biasing strategies (i.e. altered simulation processes yielding a small variance estimator) have not been proposed for PDMPs. This thesis presents how to build the likelihood ratios, it investigates the characteristics of the ideal optimal biasing strategy, and it presents a convenient and efficient way to specify practical biasing strategies for systems of reasonable size.Concerning particular filters methods, they tend to perform poorly on PDMPs with low jump rates and therefore they need to be adapted in order to be successfully applied to reliable power generation systems. Indeed in this context, splitting methods are sometimes less efficient than the naive Monte-Carlo method. This thesis investigates how it is possible to efficiently use these methods with PDMPs. Namely we propose an adaptation of the interacting particles system method (IPS) for PDMPs with low jump rates, and we investigate the convergence properties of the estimators of our methods. The efficiency of the method is tested on a reasonable size system showing a perfomance slightly better than or equivalent to the Monte-Carlo method.An additionnal result on the IPS method is also proposed in a general Markovian framework (beyond PDMPs). The IPS method takes as input certain potential functions that directly impact the variance of the estimator. In this PhD, we show that there are optimal potential functions for which the variance is minimized and we give their closed-form expressions.