Les recherches arithmétiques de Leibniz à Paris : sur certaines questions de nombres dans la seconde moitié du XVIIe siècle

Arithmetic research by Leibniz in Paris : about some questions on numbers in the second half of the 17th century

• Auteur / Autrice : Morgan Houg
• Direction : Justin Smith
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Philosophie, épistémologie. Histoire et philosophie des sciences
• Date : Soutenance le 14/12/2019
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Savoirs scientifiques : Epistémologie, histoire des sciences, didactique des disciplines (Paris ; 2000-2019)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Sciences philosophie histoire (Paris ; 2009-....)
• Jury : Président / Présidente : Pascal Crozet
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Justin Smith, Pascal Crozet, Catherine Goldstein, Eberhard Knobloch, David Rabouin, Charlotte Wahl
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Catherine Goldstein, Eberhard Knobloch

Mots clés

Mots clés contrôlés

Ozanam, Jacques (1640-1718)

Paris (France)

Et les mathématiques

Leibniz, Gottfried Wilhelm (1646-1716)

Distributivité (mathématiques)

Nombres premiers

Nombres entiers rationnels

Factorisation

Quadrature du cercle

Mots clés libres

Problème des six carrés

Problème diophantien

Six-square problem

Diophantine problem

Résumé

À son arrivée à Paris, Leibniz rencontre de nombreux acteurs du paysage scientifique. À leur contact, il va se former a la pratique des mathématiques. Nous nous intéressons ici a la facette arithmétique de son travail, largement dominée dès 1672 par un problème diophantien tentaculaire appelant de solides notions d'algèbre. Alors que des études sérieuses ont été réalisées sur le problème, nous proposons une approche qui tente de dépasser la seule description des essais de résolution tous infructueux de ce problème dit des six carres. Nous avons cherché à montrer que Leibniz s'était véritablement approprié le résultat. En nous fondant sur une étude au plus près des textes mathématiques édités par l'Académie de Berlin, nous avons tracé la ligne d'une recherche parallèle sur les nombres conduite par Leibniz à partir de ces essais de résolution du problème des six carres. L'étude des correspondances savantes de la seconde moitié du XVIIe siècle a été convoquée pour venir illustrer les investigations autour du problème. Nous les avons utilisées aussi pour animer le détachement progressif du problème à mesure que Leibniz a gagné en aisance dans l'arithmétique et a découvert de nouvelles façons de travailler. Nous suggérons dans cette étude une relecture de la manière dont le problème des six carrés a été construit par son créateur, Jacques Ozanam. Nous argumentons notamment le fait que sa résolution était intimement liée à deux éléments, l'un mathématique et l'autre historique, sur lesquels Leibniz manquait de maîtrise : les techniques de quadrature algébrique et la rédaction du Diophante d'Ozanam. Dérouté par les deux à la fois, nous présentons par la suite Leibniz comme un ≪ errant à but ≫ dès le moment ou il parvient à voir dans les méthodes de factorisations et développements parfois lourdes qu'il a mises au point dans le cadre du problème, des applications aux propriétés de divisibilité dans les entiers. Nous nous sommes alors proposé de tirer le fil de l'étude sur les entiers qui en découle pour finir par montrer un Leibniz arithméticien, devisant sur les nombres premiers et leur distribution. Nous montrons donc que l'histoire de la pratique arithmétique de Leibniz a Paris est étroitement liée à sa propre histoire de mathématicien et qu'elle est un témoin de sa capacité à acquérir puis dépasser les fondamentaux de son époque, de sa capacité à devenir un chercheur.

Upon his arrival in Paris, G. W. Leibniz met many scientists. Through discussions and debates with them, he acquired knowledge of mathematics. We have focused here on his work in arithmetic, which in 1672 is dominated to a large extent, by a branched Diophantine problem that requires a significant use of algebra to be solved. While some credible studies have been published on this problem we’ve aimed at trying to go further than a mere description of failed attempts at solving this problem, known as the “sixsquare problem”. We have sought to show that Leibniz engaged in depth with this subject. Based on mathematical studies published by the Berlin Academy of Sciences, we have conducted parallel research on numbers by Leibniz, stemming from these attempts. By studying the correspondences of scholars from the late 17th century, we have been able to illustrate advances in the resolution of the problem, and we have also used them to show the way Leibniz gradually came to neglect the problem as found new ways to work in arithmetic. As a result, this study proposes a reinterpretation of the way the six-square problem was constructed by its creator, Jacques Ozanam. We’ve also insisted on the fact that the resolution was closely linked to two elements, one mathematical, the other historical, which Leibniz did not master: algebraic squaring methods and the preparation of a book by Ozanam, Diophante. These two factors set Leibniz back, and sharpened his dedication to his goal as soon as he succeeded in finding, in the burdensome factorization and development theories he had developed for the six-square problem, some properties of the divisibility of numbers. Finally, we have endeavored to examine these works to portray Leibniz as an arithmetician who, in particular, wrote original texts on prime numbers and even on their repartition. Thus we show that the history of Leibniz’s arithmetical practice in Paris is closely linked to his own history as a mathematician, and that it bears witness to his ability to gain knowledge, and then to go further than the expertise of his time, thereby contributing to his own development as a researcher.