Algèbres de Hall et localisation des catégories

Hall algebras and localization of categories

• Auteur / Autrice : Mikhail Gorsky
• Direction : Bernhard Keller
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques. Algèbre
• Date : Soutenance le 19/12/2019
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Olivier Schiffmann
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Patrick Le Meur, Michela Varagnolo, Bernard Leclerc
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Alexander Zimmermann, Igor Burban

Mots clés

Mots clés contrôlés

Surfaces algébriques -- Dégénérescences

Groupes quantiques

Courbes algébriques

Mots clés libres

Algèbres de Hall

Localisation des catégories

Hall algebras

Localization of categories

Résumé

Cette thèse concerne les algèbres de Hall. Nous définissons des algèbres de Hall étendues tordues de catégories triangulées et montrons que, dans certains cas, elles sont bien définies même lorsque leurs contreparties non étendues ne le sont pas. Nous montrons que chaque catégorie exacte aux équivalences faibles avec une structure supplémentaire appropriée donne naturellement lieu à une algèbre de Hall étendue tordue de sa catégorie homotopique.Nous montrons que cette construction récupère la catégorification par Bridgeland des groupes quantiques via les algèbres de Hall de complexes et sa généralisation par Lu et Peng. Nous montrons que les algèbres ainsi définies sont fonctorielles par rapport aux foncteurs exacts respectant les équivalences faibles. Cela nous permet de prouver l’invariance par basculement des algèbres de Bridgeland et de catégorifier les symétries de Lusztig des groupes quantiques. Sous des conditions de finitude appropriées, pour deux structures exactes différentes sur la même catégorie additive, l’une ayant strictement moins de conflations que l’autre, nous définissons une filtration sur l’algèbre de Hall de cette dernière dont le gradué associé est l’algèbre de Hall de la première. Cette construction généralise les filtrations de type PBW quantiques.

This thesis concerns Hall algebras. We define twisted extended Hall algebras of triangulated categories and show that in some cases they are well-defined even when their non-extended counterparts are not. We show that each exact category with weak equivalences with an appropriate extra structure naturally gives rise to a twisted extended Hall algebra of its homotopy category.We prove that this construction recovers Bridgeland's categorification of quantum groups via Hall algebras of complexes and its generalization due to Lu and Peng. We prove that the algebras thus defined are functorial under exact functors respecting weak equivalences. This allows us to prove the tilting invariance of Bridgeland's algebras and to categorify Lusztig's symmetries of quantum groups. Under suitable finiteness conditions, for two different exact structures on the same additive category with one having strictly less conflations than the other, we define a filtration on the Hall algebra of the latter whose associate graded is the Hall algebra of the former. This construction generalizes quantum PBW-type filtrations.