Algèbres à niveaux et applications en topologie algébrique

Level algebras and applications to algebraic topology

• Auteur / Autrice : Sacha Ikonicoff
• Direction : Muriel Livernet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques. Topologie algébrique
• Date : Soutenance le 13/12/2019
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : David Chataur
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Muriel Livernet, David Chataur, Christine Vespa, Birgit Richter, Lionel Schwartz, Geoffrey Powell, Jérôme Scherer
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Christine Vespa, Birgit Richter

Mots clés

Mots clés contrôlés

Steenrod, Algèbre de

Modules (algèbre)

Topologie algébrique

Opérades

Mots clés libres

Puissances divisées

Algèbres à niveaux

Algèbres instables

Divided powers

Level algebras

Unstable algebras

Résumé

L'objectif de cette thèse est d'étudier les structures d'algèbre à niveaux du point de vue opéradique et les occurrences de telles structures sur les modules instables sur l'algèbre de Steenrod. En premier lieu, nous nous intéressons aux structures d'algèbre aux puissances divisées sur une opérade algébrique. Nous caractérisons ces structures, pour une opérade quelconque et en caractéristique quelconque, en terme d'opérations polynomiales et de relations, en suivant l'exemple classique de l'opérade Com des algèbres associatives et commutatives. Nous étudions en détail par la suite le cas de l'opérade des algèbres à niveaux, et nous comparons les résultats obtenus en caractéristique 2 pour l'opérade Com et pour l'opérade des algèbres à niveaux. Dans la seconde partie de cette thèse, nous faisons agir les opérades algébriques sur les modules instables sur l'algèbre de Steenrod. Nous définissons une notion d'algèbre instable sur une opérade, par rapport à une multiplication commutative de cette opérade. Sous certaines hypothèses, nous caractérisons les algèbres instables libres sur une opérade. Puis, nous utilisons ces résultats pour étudier les travaux classiques sur la théorie algébrique des modules instables. Cette relecture nous permet de comprendre les structures à niveaux qui apparaissent naturellement sur certains modules instables, et d'obtenir des résultats originaux qui généralisent ceux présent dans la littérature.

The aim of this thesis is the study of level algebra structures through the operadic point of view, and of instances of these structures occurring on unstable modules over the Steenrod algebra. In the first place, we focus on divided power algebra structures on an algebraic operad. We characterise these structures, for any operad and on a field of any characteristic, in terms of polynomial operations subjected to some relations, following the classical example of the operad Com of commutative, associative algebras. We then investigate the case of the operad of level algebras, and we compare the results we obtain in characteristic 2 with the case of the operad Com. In the second half of this thesis, we describe an action of algebraic operads on unstable modules over the Steenrod algebra. We define a notion of unstable algebras over an operad with respect to a commutative multiplication of this operad. Under some hypotheses, we characterise the free unstable algebras over an operad. We then use these results to study the classical works on algebraic theory of unstable modules. This study sheds a light on the reasons why level algebra structures appear naturally on certain unstable modules, and uncovers new results that generalise those appearing in the litterature