Modèles avec contraintes cinétiques : convergence vers l’équilibre et résultats d’universalité

Kinetically constrained models : relaxation to equilibrium and universality results

• Auteur / Autrice : Laure Marêché
• Direction : Cristina Toninelli
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques. Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 05/09/2019
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de probabilités, statistique et modélisation (Paris ; 2018-....)
• Jury : Président / Présidente : Djalil Chafaï
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Djalil Chafaï, Thierry Bodineau, Thomas Mountford, Francis Comets, Régine Marchand
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Thierry Bodineau, Thomas Mountford

Mots clés

Mots clés contrôlés

Probabilités

Percolation (physique statistique)

Bootstrap (statistique)

Mots clés libres

Modèles avec contraintes cinétiques

Convergence vers l’équilibre

Systèmes de particules en interaction

Kinetically constrained models

Convergence to equilibrium

Interacting particle systems

Résumé

Cette thèse étudie la classe de systèmes de particules en interaction appelés modèles avec contraintes cinétiques (KCM). La première question considérée est celle de l’universalité : peut-on classer l’infinité de modèles possibles en un nombre fini de classes selon leurs propriétés ? Un tel résultat a été récemment démontré dans une classe de modèles proche, la percolation bootstrap, où les modèles se subdivisent en surcritiques, critiques et sous-critiques. Cette classification s’applique aussi aux KCM, mais elle n’est pas assez fine : les KCM surcritiques doivent être subdivisés en enracinés et non enracinés, et les KCM critiques selon qu’ils ont ou pas une infinité de directions stables. Cette thèse prouve la pertinence de cette classification des KCM et complète la preuve de leur universalité dans les cas surcritique et critique, en démontrant une borne inférieure pour deux grandeurs caractéristiques, le temps de relaxation et le premier temps auquel un site est à 0, dans les cas surcritique enraciné (travail avec F. Martinelli et C. Toninelli, reposant sur un résultat combinatoire réalisé sans collaboration) et critique avec une infinité de directions stables (travail avec I. Hartarsky et C. Toninelli). Elle établit aussi une borne inférieure plus précise dans le cas particulier du modèle de Duarte (travail avec F. Martinelli et C. Toninelli). Dans un deuxième temps, cette thèse montre des résultats de convergence exponentielle vers l’équilibre, pour tous les KCM surcritiques sous certaines conditions et dans le cas particulier du modèle Est en dimension d sans restriction.

This thesis studies the class of interacting particle systems called kinetically constrained models (KCMs). It considers first the question of universality: can the infinity of possible models be sorted into a finite number of classes according to their properties? Such a result was recently proven in a related class of models, bootstrap percolation, where models can be divided into supercritical, critical and subcritical. This classification can also be applied to KCMs, but it is not precise enough: supercritical KCMs have to be divided into rooted and unrooted, and critical KCMs depending on them having or not an infinity of stable directions. This thesis shows the relevance of this classification of KCMs and completes the proof of their universality in the supercritical and critical cases, by proving a lower bound for two characteristic scales, the relaxation time and the first time at which a site is at 0, in the supercritical rooted case (work with F. Martinelli and C. Toninelli, relying on a combinatorial result shown without collaboration) and in the case of critical models with an infinity of stable directions (work with I. Hartarsky and C. Toninelli). It also establishes a more precise lower bound in the particular case of the Duarte model (work with F. Martinelli and C. Toninelli). Secondly, this thesis shows results of exponential convergence to equilibrium, for all supercritical KCMs under certain conditions and in the particular case of the d-dimensional East model without restrictions.