Sur l'exposant de Lyapunov de matrices de transfert aléatoires et sur des modèles d'accrochage avec contraintes

On the Lyapunov exponent of random transfer matrices and on pinning models with constraints

• Auteur / Autrice : Benjamin Havret
• Direction : Giambattista Giacomin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques. Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 09/12/2019
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de probabilités, statistique et modélisation (Paris ; 2018-....)
• Jury : Président / Présidente : Francis Comets
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Cristina Toninelli, Quentin Berger, Julien Poisat
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Philippe Carmona

Mots clés

Mots clés contrôlés

ADN circulaire

Ordre et désordre (physique)

Matrices aléatoires

Ising, Modèle d'

Liapounov, Exposants de

Mots clés libres

Produit de matrices aléatoires

Comportement critique

Pertinence du désordre

Modèles d’accrochage

Grand saut

Propriétés trajectorielles

Product of random matrices

Lyapunov exponent

Disordered systems

Critical behaviour

Relevant disorder

Pinning model

Big jump

Path properties

Résumé

Cette thèse se divise en deux parties indépendantes. La première (Chapitres 1 et 2) est consacrée à l’analyse de l’exposant de Lyapunov d’un produit de matrices de transfert aléatoires. Cet exposant de Lyapunov apparait de multiples fois dans la littérature physique, notamment dans l’analyse du modèle d’Ising dans certains milieux aléatoires. Nous nous intéressons à une prédiction de la littérature physique concernant son comportement singulier et nous proposons une analyse mathématique de cette singularité. La seconde partie (Chapitres 3, 4 et 5) porte sur une variation du modèle de Poland-Scheraga pour la dénaturation de l’ADN. Cette variation vise la prise en compte des contraintes géométriques particulières des chaines d’ADN circulaires. Nous analysons entièrement le modèle homogène: la régularité et le comportement critique de son énergie libre, ainsi que les trajectoires du polymère. Nous nous intéressons enfin au modèle désordonné, pour lequel nous établissons la pertinence du désordre, tant au niveau de l’énergie libre que des trajectoires du système.

This work is made of two independent parts. The first (Chapters 1 and 2) is devoted to the study of the Lyapunov exponent of a product of random transfer matrices. This Lyapunov exponent appears repeatedly in the statistical mechanics literature, notably in the analysis of the Ising model in some special disordered environments. The focus is on a singular behaviour that has been pointed out in the physical literature: we provide a mathematical analysis of this singularity. In the second part (Chapters 3, 4 and 5) we consider a variation of the Poland-Scheraga model for DNA denaturation. This variation aims at modeling the case of circular DNA. We provide a complete analysis of the homogeneous model, including free energy regularity and critical behaviour, as well as path properties. We also tackle the disordered case, for which we prove relevance of disorder both for the free energy and the trajectories of the system.