Some problems in noncommutative analysis

Quelques problèmes en analyse non-commutative

• Auteur / Autrice : Haonan Zhang
• Direction : Quanhua Xu, Adam Skalski
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 04/10/2019
• Etablissement(s) : Bourgogne Franche-Comté en cotutelle avec Polska Akademia Nauk
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Besançon (Besançon) - Laboratoire de Mathématiques de Besançon (UMR 6623) / LMB
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de préparation : Université de Franche-Comté (1971-....) - Polska Akademia Nauk
• Jury : Président / Présidente : Roland Speicher
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Quanhua Xu, Adam Skalski, Roland Speicher, Pierre Fima, Bartosz Kwaśniewski, Uwe Franz, Kenny Commer
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Pierre Fima, Bartosz Kwaśniewski

Mots clés

Mots clés contrôlés

Groupes quantiques

Mots clés libres

Groupes quantiques compacts

États idempotents

États infiniment divisibles

Multiplicateurs de Fourier

Α-Z entropie relative de Rényi

Convexité/concavité conjointe

Compact quantum groups

Idempotent states

Infinitely divisible states

Fourier multipliers

Α-Z Rényi relative entropy

Joint convexity/concavity

Résumé

Cette thèse de doctorat est consacrée à l'étude de quelques problèmes en analyse non commutative. Elle comprend quatre parties, allant des groupes quantiques et de l'analyse harmonique non commutative à l'information quantique. Tout d'abord, nous déterminons les états idempotents sur les groupes quantiques de Sekine, ce qui est obtenu en résolvant un système d'équations à l'aide de l'algèbre linéaire et de la théorie des nombres élémentaire. Ceci répond à une question de Franz et Skalski énoncée en 2009. Deuxièmement, nous étudions les états infiniment divisibles sur des groupes quantiques finis, c'est-à-dire, les états qui admettent une racine n-ième pour tout nge 1. Nous montrons que tout état infiniment divisible sur un groupe quantique fini est de type Poisson, c'est-à-dire qu'il peut être représenté sous la forme d'une exponentielle par rapport à un état idempotent. Troisièmement, nous donnons deux conditions suffisantes pour que les multiplicateurs de Fourier de L_p sur les algèbres de von Neumann de groupes discrets soient bornés. Très peu de résultats de ce type étaient connus auparavant. Notre idée est l'observation que, dans le cas discret, il suffit de considérer les multiplicateurs de Fourier de L_p-L_q. Enfin, dans le domaine de l'information quantique, nous confirmons une conjecture de Carlen, Frank et Lieb (puis une conjecture plus faible d'Audenaert et Datta). En conséquence, nous identifions toutes les paires (alpha, z) telles que l'alpha-z entropie relative de Rényi soit monotone sous l'action des applications complètement positives préservant la trace, ou satisfait à l'inégalité de traitement des données. La clé de la preuve est une modification d'une méthode variationnelle largement utilisée, qui permet d'obtenir des preuves simples de nombreux résultats connus.

This PhD thesis is devoted to the study of some problems in noncommutative analysis. It consists of four parts, ranging from quantum groups and noncommutative harmonic analysis to quantum information. Firstly, we decide all the idempotent states on Sekine quantum groups, which is achieved by solving a system of equations using linear algebras and elementary number theory. This answers a question of Franz and Skalski stated in 2009. Secondly, we study the infinitely divisible states on finite quantum groups, i.e., states that admit n-th root for all nge 1. We show that every infinitely divisible state on a finite quantum group is of Poisson type, that is, it can be represented as an exponential relative to some idempotent state. Thirdly, we give two sufficient conditions for boundedness of L_p-Fourier multipliers on discrete group von Neumann algebras. Very few of such results were known before. Our idea is the observation that in the discrete case it suffices to consider L_p-L_q Fourier multipliers. Finally, in the area of quantum information, we confirm a conjecture of Carlen, Frank and Lieb (and then a weaker conjecture of Audenaert and Datta). As a consequence, we identify all the pairs (alpha,z) such that the alpha-z Rényi relative entropy is monotone under completely positive trace preserving maps, or satisfies Data Processing Inequality. The key part of the proof is a modification of a widely-used variational method. Its power yields simple proofs of many known results.