Fonctions de Painlevé et blocs conformes irréguliers

Painlevé functions and irregular conformal blocks

• Auteur / Autrice : Julien Roussillon
• Direction : Oleg Lisovyy
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Physique
• Date : Soutenance le 28/05/2019
• Etablissement(s) : Tours
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Informatique, Physique Théorique et Ingénierie des Systèmes (Centre-Val de Loire ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Institut Denis Poisson (Orléans, Tours ; 2018-....)
• Jury : Président / Présidente : Pascal Baseilhac
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Mattia Cafasso, Raoul Santachiara
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Nikolai Iorgov

Mots clés

Mots clés contrôlés

Déformations isomonodromiques, Méthode des

Équations différentielles -- Théorie asymptotique

Groupes de monodromie

Théorie conforme des champs

Connexions (mathématiques)

Plan bloc

Painlevé, Équations de

Mots clés libres

Isomonodromie

Équations de Painlevé

Blocs conformes irréguliers

Problème de connexion

Isomonodromy

Painlevé equations

Irregular conformal blocks

Connection problem

Résumé

Cette thèse a pour but de résoudre certains problèmes de connexion et de décrire diverses propriétés asymptotiques des fonctions de Painlevé V et I. Dans le cas de l’équation de Painlevé V, nous approchons ces problèmes en développant une nouvelle approche basée sur la théorie conforme des champs bidimensionelle. Nous proposons de calculer les blocs conformes irréguliers de première et seconde espèce par confluence des blocs conformes réguliers de Virasoro. Une conséquence de cette construction est la solution du problème de connexion de l’équation de Painlevé V entre 0 et +i∞. Les formules pour les normalisations relatives (constantes de connexion) de la fonction tau de Painlevé V entre 0, +∞, et +i∞ sont également proposées. Enfin, le développement asymptotique complet de la fonction tau à courte distance pour des données de monodromie génériques est prouvé. Ce résultat est obtenu en construisant une représentation de la fonction tau en termes d’un déterminant de Fredholm. Dans le cas de l’équation de Painlevé I, nous présentons les constantes de connexion relatant les asymptotiques de la fonction tau sur les cinq raies canoniques à l’infini. Ce résultat est obtenu en construisant une extension de la forme différentielle de Jimbo-Miwa-Ueno à l’espace des données de monodromie. Ces constantes de connexion sont exprimées en termes de dilogarithmes de coordonnées de type cluster dans l’espace des données de Stokes.

The aim of this thesis is to solve several connection problems and describe asymptotic properties of Painlevé V and I functions. In the case of Painlevé V equation, we approach these problems by developing a new toolbox based on two dimensional conformal field theory. We propose to compute irregular conformal blocks of the first and second kind by confluence of regular Virasoro conformal blocks. One consequence of this construction is the solution of the connection problem for Painlevé V equation between 0 and +i∞. Formulas for the relative normalizations (connection constants) of Painlevé V tau function between 0, +∞, and +i∞ are also proposed. Finally, the full asymptotic expansion of the tau function at short distances for generic monodromy data is proved. This result is obtained by constructing a Fredholm determinant representation for the tau function. In the case of Painlevé I equation, we present connection constants relating asymptotics of the tau function on the five canonical rays at infinity. This result is obtained by extending the definition of the Jimbo-Miwa-Ueno differential to the space of monodromy data. These connection constants are expressed in terms of dilogarithms of cluster type coordinates on the space of Stokes data.