Théorie mathématique du transport topologique dans des modèles unitaires sur réseaux

Mathematical theory of topological transport for unitary models on networks

• Auteur / Autrice : Mohamed Mouneime M'madi Issimail
• Direction : Joachim Asch
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 17/12/2019
• Etablissement(s) : Toulon en cotutelle avec Ecole nationale d'enseignement supérieur des Comores
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mer et Sciences (Toulon ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de physique théorique (Marseille ; Toulon ; 2012-....)
• Jury : Président / Présidente : Walter Aschbacher
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Vojkan Jaksic, Annalisa Panati, Abdou Mohamed Housseine
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Olivier Bourget, Alain Joye

Mots clés

Mots clés contrôlés

Toeplitz, Opérateurs de

Marches aléatoires quantiques

Fredholm, Opérateurs de

Dynamique topologique

Mots clés libres

Modèles unitaires sur réseaux

Transport topologique

Marches quantiques

Unitary Network Models

Topological transport

Quantum walks

Résumé

Nous étudions des systèmes dynamiques quantiques discrets décrits par un opérateur unitaire U agissant sur l'espace des fonctions à carré sommables défini sur les sommets d'un graphe infini. Les orbites du système sont définies par les itérations U^n x, où x est la condition initiale et n parcoure les entiers. Nous considérons certaines classes d'opérateurs U dépendants de paramètres du système. Nous sommes en particulier intéressés par des propriétés spectrales qui sont topologiques, donc caractérisé par un entier qui dépend continuellement des paramètres du système.Les questions auxquelles nous répondons sont basées sur des observations des applications récentes dans les sciences physiques et informatiques ; nous fournissons des définitions et des résultats mathématiques précises et pertinentes pour certaines de ces applications. Dans cette thèse nous avons obtenu quatre résultats : en une dimension, nous avons démontré l'existence de valeurs propres, stable par des petites ou compactes perturbations, pour une classe de marche quantique. En dimension deux, nous avons obtenu trois résultats concernant la stabilité du spectre absolument continu de U couvrant tout le cercle unité.Nous avons utilisé plusieurs outils mathématiques : La théorie des opérateurs fibrés du quelle nous nous sommes servis pour donner un aperçu des propriétés spectrales de U, dans le cas où ses paramètres sont invariants par translation. Pour les considérations topologiques, nous avons utilisé la théorie de l'ensemble des opérateurs de Fredholm, en particulier la caractérisation complète de ses composantes connexes par l'indice. Pour le cas des valeurs propres stables nous avons démontré une borne inférieure non triviale et explicite sur leur nombre en faisant appel au théorème d'indice pour les opérateurs de Toeplitz. Pour nos trois résultats qui concernent la stabilité du spectre absolument continu nous avons exploité l'indice relatif d'une paire de projecteurs orthogonales. Pour chaque cas et pour une paire définie par U nous avons pu démontrer sa non-trivialité. Ceci nous a permis d'utiliser des résultats récents concernant des implications spectrales pour les opérateurs U.

We study certain discrete quantum dynamical systems which are described by unitary operators U acting on the space of square integrable functions defined on the vertices of a countably infinite graph. For initial conditions x the orbits of the system are defined by the iterations Unx for integer n. We consider classes of operators U which depend on parameters. We are interested in topological spectral properties meaning that they are characterized by integers which depend continuously on the parameters of the system. We answer questions which are based on recent observations and applications in physical and information sciences. We state and prove proper mathematical results which apply to some of these observations. In this the sis we present four results: in one spatial dimension and for a class of quantum walks we proved the existence of eigenvalues which are constant with respect to continuous and compact perturbations. In two dimensions we have obtained results on occurrence of stable absolutely continuous spectrum covering the whole unit circle for three different lattice models. We employed several mathematical tools: We used the theory of fibered operators to exhibit systematically the spectral properties of translation invariant operators U. For our operator topological considerations, we put to use the class of Fredholm operators and in particular the complete characterization of its connected components by the index. For the case of the constant eigenvalues we proved a non-trivial and explicit lower bound on their number using the index theorem for Toeplitz operators. We employed the theory of the relative index of a pair of orthogonal projections for our study of the full absolutely continuous spectrum. For each of the three cases we established its non-triviality for a pair involvingU, and then made use of recently proved results concerning the implications on the spectrum of U.