Grandes valeurs propres de graphes aléatoires dilués

High eigenvalues of sparse random graphs

• Auteur / Autrice : Simon Coste
• Direction : Charles Bordenave, Justin Salez
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et Applications
• Date : Soutenance le 30/09/2019
• Etablissement(s) : Toulouse 3
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Valeurs propres

Matrices aléatoires

Graphes aléatoires

Mots clés libres

Graphes aléatoires

Matrices aléatoires

Valeurs propres

Reconstruction de matrices

Random graphs

Random matrices

Eigenvalues

Matrix reconstruction

Résumé

Une matrice aléatoire n x n est diluée lorsque le nombre d'entrées non nulles est d'ordre n ; les matrices d'adjacence de graphes d-réguliers ou les graphes d'Erdös-Rényi de degré moyen d fixé sont dilués. Dans le premier chapitre, je démontre une borne supérieure sur la deuxième valeur propre de la matrice de transition sur certains graphes dilués, les graphes de configuration dirigés, dans lesquels on a spécifié le degré (entrant et sortant) de chaque sommet. On obtient aussi une généralisation importante du théorème de Friedman : la seconde valeur propre de la matrice d'adjacence d'un graphe d-régulier dirigé est inférieure à racine carrée de d+o(1). Dans le second chapitre, issu d'une collaboration avec Charles Bordenave, on donne une généralisation du théorème d'Erdös-Gallai. Le troisième chapitre, issu d'une collaboration avec Justin Salez, résout un problème posé en 2004 par Bauer et Golinelli : l'existence ou non d'états étendus dans le spectre limite des graphes d'Erdös-Rényi de paramètre d/n. On y démontre l'absence d'états étendus en zéro lorsque d < e et la présence d'états étendus lorsque d > e. Nos résultats s'étendent aux arbres de Galton-Watson unimodulaires. Je démontre également l'absence d'états étendus en zéro dans le spectre de l'arbre squelette d'Aldous. Le dernier chapitre est issu d'une collaboration avec Charles Bordenave et Raj Rao Nadakuditi. On y étudie les valeurs propres de la matrice d'adjacence A d'un graphe d'Erdös-Rényi de paramètre d/n, dans lequel les arêtes sont pondérées par les entrées d'une matrice symétrique P. On montre une transition de phase spectaculaire : il existe un seuil Thêta dépendant de P et de d tel que les plus grandes valeurs propres de (n/d)A convergent vers les valeurs propres de P plus grandes que Thêta, et tel que les vecteurs propres de A associés sont alignés avec ceux de P.

A random n x n matrix is diluted when the number of non-zero entries is of order n; adjacency matrices of d-regular graphs or adjacency matrices of Erdös-Rényi graphs with fixed average degree d are diluted. This dissertation is about the spectrum of diluted random matrices. In the first chapter I show an upper bound on the second eigenvalue of the transition matrix on a diluted directed graph model, the directed configuration model, in which the degree (in and out) of each vertex is specified. We also get an important generalization of Friedman's theorem: the second eigenvalue of the adjacency matrix of a directed d-regular graph is less than square root of d+o(1). A second short chapter, from a collaboration with Charles Bordenave, gives a generalization of the Erdös-Gallai theorem. The third chapter, a collaboration with Justin Salez, solves a problem raised in 2004 by Bauer and Golinelli: the existence (or not) of extended states in the limiting spectrum of Erdös-Rényi graphs with parameter d/n. We show the absence of extended states at zero when d < e and the presence of extended states when d > e. Our results extend to the spectra of unimodular Galton-Watson tree. I also prove the absence of extended states at zero in the spectrum of the skeleton tree. The last chapter is a collaboration with Charles Bordenave and Raj Rao Nadakuditi. We study the eigenvalues of the adjacency matrix A of a directed Erdös-Rényi graph with parameter d/n, in which the edges are weighted by the entries of a symmetric matrix P. We show a spectacular phase transition: there is a threshold Theta depending on P and d such that the largest eigenvalues of (n/d)A converge to the eigenvalues of P which are greater than Theta. The associated eigenvectors of A are aligned with those of P.