Étude mathématique et numérique d'équations cinétiques et fluides multi-échelles pour la description d'un plasma de fusion

Mathematical and numerical study of kinetic and fluids multi-scales equations for the description of fusion plasma

• Auteur / Autrice : Baptiste Fedele
• Direction : Claudia Negulescu, Maurizio Ottaviani
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 30/09/2019
• Etablissement(s) : Toulouse 3
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie asymptotique

Fusion au plasma

Équations cinétiques

Mots clés libres

Vlasov

Schémas préservant l'asymptotique

Equations multi-échelles

Plasmas

Vlasov

Multi-scale equation

Plasma

Asymptotic preserving schemes

Résumé

Cette thèse de doctorat a pour thématique la modélisation mathématique et la simulation numérique de plusieurs équations d'évolution anisotropes qui modélisent des phénomènes issus de la physique des plasmas et de la mécanique des fluides. Les plasmas de fusion thermonucléaires sont un milieu très instable et anisotrope, d'où l'apparition de plusieurs problèmes mathématiques intéressants et complexes. La première partie porte sur des modèles jouets issus de l'équation de Vlasov anisotrope. L'objectif étant de développer des schémas numériques (en particulier des schémas préservant l'asymptotique) qui résolvent ces modèles de manière efficace en vue de les implémenter ultérieurement sur des modèles plus physiques et plus complexes. En particulier, ce travail a permis de dégager les avantages et les inconvénients de nos schémas numériques en fonction de la nature du problème considéré. La seconde partie est dédiée à l'étude de modèles plus complexes, notamment le système de Vlasov-Poisson. D'un point de vue numérique, un seul schéma préservant l'asymptotique, basé sur une décomposition Micro-Macro couplé avec une méthode de régularisation est développé. Grâce à ce schéma, il sera possible d'atteindre les états d'équilibres BGK du système de Vlasov-Poisson en quelques itérations temporelles, en évitant ainsi une importante accumulation d'erreurs numériques. La dernière partie s'attache à étudier un système de Vorticité-Poisson, issu de la mécanique des fluides. En particulier, deux écoulements caractéristiques de ce système seront étudiés : les écoulements de Taylor-Green et de Kolmogorov. Le premier permettra principalement de valider notre procédure numérique, qui est similaire à la procédure déjà évoquée dans la partie précédente. En revanche, nous étudions plus en détail l'écoulement de Kolmogorov qui peut conduire à une instabilité sous certaines conditions. Un résultat analytique est donné pour la phase linéaire de cette instabilité, reliant le taux d'instabilité et la rapport d'aspect du domaine. Les phases non-linéaire et de saturation sont ensuite étudiées numériquement. En particulier, les propriétés AP de notre schéma permettront d'atteindre en quelques itérations en temps un nouvel équilibre issu de l'instabilité.

This thesis deals with the mathematical modeling and the numerical simulation of several evolution equations with a stiff term which model phenomena coming from plasma physics and fluid mechanics. Thermonuclear plasmas are a highly unstable and anisotropic medium, where the occurrence of several interesting mathematical problems. The first part concerns toy-models obtained from the anisotropic Vlasov equation. The aim is to develop numerical methods (in particular asymptotic-preserving schemes) which resolve efficiently these problems, in the aim to pass then to more complex physical models. In particular, this work has permitted to highlight both advantages and drawbacks of the developed numerical schemes depending on the considered problem. The second part is dedicated to the study of more complex models, in particular to the Vlasov-Poisson system. From a numerical point of view, an AP scheme is developed, based on a Micro-Macro decomposition coupled with a regularization technique. Thanks to this scheme, it is possible to attain the BGK waves, solution of the Vlasov-Poisson equation, in few time iterations, avoiding thus an important accumulation of numerical errors. The last part focus on the study of a Vorticity-Poisson system, coming from fluid mechanics. In particular, two characteristics flows of this system are investigated : the so-called Taylor-Green and Kolmogorov flows. The first one permits mainly to validate our numerical procedure, similar to that evocated in the last part. However, the Kolmogorov flow is more deeply studied. It can lead to an unstable flow under certain conditions. An analytical result for the linear instability is given, linking the growth rate of the instability phase with the aspect ratio of the domain. Then, both non-linear and saturation phases are numerically investigated. In particular, the special AP-properties of our scheme permit us to attain in only few iterations a new equilibrium of the instability.