Champs de vecteurs quadratiques avec solutions univaluées en dimension 3 et supérieure

Quadratic vector fields with univalued solutions in dimension 3 and higher

• Auteur / Autrice : Daniel De La Rosa Gómez
• Direction : Julio Rebelo
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 21/06/2019
• Etablissement(s) : Toulouse 3
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Feuilletages (mathématiques)

Champs vectoriels

Formes quadratiques

Mots clés libres

Champs de vecteurs quadratiques

Feuilletages

Singularités

Champs de vecteurs semicomplets

Quadratic vector fields

Foliations

Singularities

Semicomplete vector fields

Résumé

Il est vraiment remarquable le fait que parmi les exemples connus de champs de vecteurs quadratiques semicomplets, il est toujours possible de trouver des coordonnées linéaires où le champ de vecteurs correspondant a tous -ou "presque tous"- ses coefficients dans l'ensemble des nombres réels. En effet, les coefficients sont très souvent entiers. L'espace des champs quadratiques en C^3, à équivalence linéaire près, est une famille de dimension complexe 9. Le résultat principal de cette thèse établi que les degrés de liberté pour déterminer les coefficients d'un champ de vecteurs semi-complet (sous des hypothèses génériques très faibles) est au plus 3. Autrement dit, il y a 3 paramètres à partir desquels tous les autres coefficients peuvent être obtenus dans un sens naturel. En particulier, si ces 3 coefficients sont réels, alors tous les coefficients sont réels. Nous commençons par considérer un champ quadratique générique Z en C^n, homogène et qui n'est pas un multiple du champ de vecteurs radial. Le premier pas dans notre travail sera de construire une forme canonique pour le champ de vecteurs X induit sur CP(n-1); Cette forme canonique est invariante sous l'action d'un groupe particulier de symétries. Lorsque n=3, nous pouvons améliorer notre approche en étudiant les singularités non pas sur le diviseur exceptionnel mais sur l'hyperplan à l'infini Delta = CP(2). Dans ce contexte la dynamique du feuilletage devient assez simple alors que les singularités ont tendance à devenir dégénérées. L'avantage est que l'on peut travailler avec des singularités dégénérées avec la technique des éclatements successifs. Ceci aboutit a des expressions simples pour les valeurs propres directement en terme des coefficients de X.

It is a remarkable fact that among the known examples of quadratic semicomplete vector fields on C^3, it is always possible to find linear coordinates where the corresponding vector field has all-or "almost all"-coefficients in the real numbers. Indeed, the coefficients are very often integral. The space of quadratic vector fields on C^3, up to linear equivalence, is a complex 9-dimensional family. The main result of this thesis establishes that the degree of freedom in determining the coefficients of a semicomplete vector field (under very mild generic assumptions) is at most 3. In other words, there are 3 parameters from which all remaining parameters are determined. Moreover if these 3 parameters are real, then so is the vector field. We start by considering a generic quadratic vector field Z on C^n that is homogeneous and is not a multiple of the radial vector field. The first step in our work will be to construct a canonical form for the induced vector field X on CP(n-1). This canonical form will be invariant under the action of a specific group of symmetries. When n=3, we then push further our approach by studying the singularities not lying on the exceptional divisor but at the hyperplane at infinity Delta=CP(2). In this setting the dynamics of the foliation turn out to be quite simple while the singularities tend to be degenerated. The advantage is that we can deal with degenerated singularities with the technique of successive blow-ups. This leads to simple expressions for the eigenvalues directly in terms of the coefficients of X.